Интегралы: полный курс / Приложения определённого интеграла / урок 33 из 64

Площадь поверхности вращения

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 8

Формула

Кривая $y = f(x) \ge 0$ , $x \in [a; b]$ , вращается вокруг оси $Ox$ . Впишем ломаную; при вращении каждое звено описывает боковую поверхность усечённого конуса, площадь которой равна $\pi(r_1 + r_2)\,l$ , где $l$ — длина образующей. Суммируя и переходя к пределу, получаем

S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx = 2\pi\int y\,ds.

Запомнить легко: пояс шириной $ds$ на расстоянии $y$ от оси — это развёрнутая полоска длины $2\pi y$ .

Параметрическая кривая ( $y \ge 0$ ):

S = 2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt.

Полярная кривая: $y = r\sin\varphi$ , $ds = \sqrt{r^2 + r'^2}\,d\varphi$ :

S = 2\pi\int_\alpha^\beta r\sin\varphi\sqrt{r^2 + r'^2}\,d\varphi.

При вращении вокруг оси $Oy$ вместо $y$ стоит расстояние до этой оси, $x$ .

Сфера и пояс Архимеда

Для сферы $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ : $y\sqrt{1 + y'^2} = R$ — постоянна! Значит, площадь сферического пояса между плоскостями $x = c$ и $x = c + h$ равна $2\pi Rh$ и зависит только от высоты пояса, а не от того, где он расположен. Это теорема Архимеда; вся сфера — $2\pi R\cdot2R = 4\pi R^2$ .

Следствие: проекция сферы на описанный цилиндр (горизонтально, от оси) сохраняет площади. На этом основана равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта для карт.

import numpy as np

R = 1.0
for c in [-1.0, -0.5, 0.0, 0.5]:
    x = np.linspace(c, c + 0.5, 20001)
    y = np.sqrt(np.maximum(R**2 - x**2, 0))
    dy = np.gradient(y, x)
    S = 2 * np.pi * np.trapz(y * np.sqrt(1 + dy**2), x)
    print(f"пояс от x = {c:+.1f} до {c + 0.5:+.1f}: S ≈ {S:.4f}   (2πRh = {2 * np.pi * 0.5:.4f})")

Все четыре пояса одинаковой высоты имеют одну и ту же площадь.

Теорема Паппа–Гульдина для поверхностей

Площадь поверхности, полученной вращением плоской кривой длины $L$ вокруг не пересекающей её оси, равна $S = 2\pi d\cdot L$ , где $d$ — расстояние от центра масс кривой до оси. Тор: $S = 2\pi R\cdot2\pi r = 4\pi^2Rr$ .

Рог Гавриила: бесконечная поверхность

Для $y = \frac1x$ , $x \ge 1$ :

S = 2\pi\int_1^\infty\frac1x\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\,dx \ge 2\pi\int_1^\infty\frac{dx}{x} = \infty,

а объём, как мы видели, равен

\pi

import numpy as np
import vis

xs = [10, 100, 1000, 10000]
for X in xs:
    x = np.geomspace(1, X, 200001)
    S = 2 * np.pi * np.trapz(np.sqrt(1 + 1 / x**4) / x, x)
    V = np.pi * np.trapz(1 / x**2, x)
    print(f"до x = {X:>6}: объём ≈ {V:.4f}, поверхность ≈ {S:.2f}")
x = np.linspace(1, 8, 300)
vis.area(x, {"1/x": 1 / x, "−1/x": -1 / x}, between=("−1/x", "1/x"), title="Рог Гавриила (осевое сечение)", equal=True)

Объём стремится к $\pi$ , а поверхность растёт как $2\pi\ln X$ — без предела.

Итог

$S = 2\pi\int y\,ds$ , где $ds = \sqrt{1 + y'^2}\,dx = \sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt = \sqrt{r^2 + r'^2}\,d\varphi$ .
Сфера: пояс высоты $h$ имеет площадь $2\pi Rh$ .
Папп–Гульдин: $S = 2\pi d L$ .

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Площадь сферы радиуса $R = 2$ : вращаем полуокружность $y = \sqrt{4 - x^2}$ вокруг $Ox$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).