Интегралы: полный курс / Криволинейные и поверхностные интегралы / урок 55 из 64

Криволинейный интеграл второго рода

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 9

Работа силы

Точка движется по кривой $L$ под действием силы $\vec F(x, y) = (P, Q)$ . На малом перемещении $\Delta\vec r = (\Delta x, \Delta y)$ работа $\approx\vec F\cdot\Delta\vec r = P\Delta x + Q\Delta y$ . Полная работа —

\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L\vec F\cdot d\vec r

— криволинейный интеграл второго рода (по координатам). В пространстве: $\int_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz$ .

Вычисление

Кривая $x = x(t)$ , $y = y(t)$ , причём $t$ меняется от $t_A$ (начало пути) до $t_B$ (конец):

\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_{t_A}^{t_B}\Big(P\big(x(t), y(t)\big)x'(t) + Q\big(x(t), y(t)\big)y'(t)\Big)dt.

Здесь, в отличие от первого рода, нижний предел — начало пути, даже если он больше верхнего.

Пример. $\int_L y\,dx - x\,dy$ по окружности против часовой стрелки: $x = \cos t$ , $y = \sin t$ , $t$ : $0 \to 2\pi$ :

\int_0^{2\pi}\big(\sin t\cdot(-\sin t) - \cos t\cdot\cos t\big)dt = -2\pi.

Направление и замкнутые контуры

При смене направления интеграл меняет знак: $\int_{BA} = -\int_{AB}$ .
Для замкнутого контура пишут $\oint_L$ ; положительное направление — против часовой стрелки (область остаётся слева).
$\oint_L\vec F\cdot d\vec r$ называется циркуляцией поля по контуру.

Связь с первым родом

Если $\vec\tau = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ — единичный касательный вектор в направлении обхода, то $dx = \cos\alpha\,ds$ , $dy = \sin\alpha\,ds$ и

\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L(P\cos\alpha + Q\sin\alpha)\,ds = \int_L\vec F\cdot\vec\tau\,ds.

Работу совершает только касательная составляющая силы.

import sympy as sp

t = sp.symbols("t", real=True)

def work(F, r, t0, t1):
    """∫ F·dr вдоль кривой r(t), t от t0 до t1."""
    dr = [sp.diff(c, t) for c in r]
    return sp.simplify(sp.integrate(sum(Fi(*r) * d for Fi, d in zip(F, dr)), (t, t0, t1)))

F = (lambda x, y: x**2, lambda x, y: x * y)
print("по параболе:", work(F, (t, t**2), 0, 1))
print("по прямой:  ", work(F, (t, t), 0, 1))
G = (lambda x, y: 2 * x * y, lambda x, y: x**2)        # потенциальное поле: grad(x²y)
print("потенциальное поле, парабола:", work(G, (t, t**2), 0, 1), "  прямая:", work(G, (t, t), 0, 1))

Для первого поля результат зависит от пути, для второго — нет. Почему — в уроке о потенциальных полях.

Поля в картинках

import numpy as np
import vis

t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)
vis.field(lambda x, y: -y, lambda x, y: x, title="Вихревое поле (−y, x): вдоль окружности сила всё время помогает движению",
          curves={"контур r = 1,5": (1.5 * np.cos(t), 1.5 * np.sin(t))})

Поле $\vec F = (-y, x)$ направлено по касательной к окружностям, поэтому его циркуляция по окружности радиуса $R$ равна $|\vec F|\cdot2\pi R = 2\pi R^2$ — работа не нулевая, хотя путь замкнут.

Итог

$\int_L P\,dx + Q\,dy$ — работа силы $(P, Q)$ вдоль пути.
Вычисляется подстановкой параметризации; $t$ идёт от начала пути к концу.
Меняет знак при смене направления; $\oint$ — циркуляция по замкнутому контуру.

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

$\displaystyle\int_L y\,dx + x\,dy$ , $L$ — отрезок от $(0, 0)$ до $(1, 2)$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).