Интегралы: полный курс / Кратные интегралы / урок 50 из 64

Тройной интеграл

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 9

Определение

Для функции $f(x, y, z)$ в пространственной области $V$ разбиваем $V$ на маленькие части объёмом $\Delta V_k$ и берём предел сумм:

\iiint_V f\,dV = \lim_{\lambda\to0}\sum f(\xi_k, \eta_k, \zeta_k)\,\Delta V_k.

Смысл: масса тела с плотностью $\rho(x, y, z)$ : $m = \iiint_V\rho\,dV$ ; при $f = 1$ — объём тела. Свойства — те же, что у двойного интеграла.

Сведение к повторному: «по столбикам»

Если $V$ — тело между поверхностями $z = z_1(x, y)$ и $z = z_2(x, y)$ над областью $D$ плоскости $Oxy$ (проекцией тела), то

\iiint_V f\,dV = \iint_D dx\,dy\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}f\,dz,

и двойной интеграл по $D$ расставляется как в прошлых уроках. Итого:

\iiint_V f\,dV = \int_a^b dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}f(x, y, z)\,dz.

Пример: тетраэдр $x, y, z \ge 0$ , $x + y + z \le 1$ . Нижняя поверхность $z = 0$ , верхняя $z = 1 - x - y$ ; проекция — треугольник $x, y \ge 0$ , $x + y \le 1$ :

V = \int_0^1dx\int_0^{1 - x}dy\int_0^{1 - x - y}dz = \int_0^1dx\int_0^{1 - x}(1 - x - y)\,dy = \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}dx = \frac16.

«По сечениям»

Если сечения тела плоскостями $z = \text{const}$ — простые фигуры $D(z)$ , удобнее

\iiint_V f\,dV = \int_c^d dz\iint_{D(z)}f\,dx\,dy.

Особенно хорошо, когда $f$ зависит только от $z$ : $\iiint_V f(z)\,dV = \int_c^d f(z)\,S(z)\,dz$ , где $S(z)$ — площадь сечения. Так, для шара $S(z) = \pi(R^2 - z^2)$ и $V = \frac43\pi R^3$ .

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols("x y z")
print("объём тетраэдра:", sp.integrate(1, (z, 0, 1 - x - y), (y, 0, 1 - x), (x, 0, 1)))
print("∭ z по тетраэдру:", sp.integrate(z, (z, 0, 1 - x - y), (y, 0, 1 - x), (x, 0, 1)))
print("центр масс: z̄ =", sp.integrate(z, (z, 0, 1 - x - y), (y, 0, 1 - x), (x, 0, 1)) * 6)
R = sp.symbols("R", positive=True)
print("шар по сечениям:", sp.integrate(sp.pi * (R**2 - z**2), (z, -R, R)))

Замена переменных

Как и в двумерном случае:

dx\,dy\,dz = |J|\,du\,dv\,dw, \qquad J = \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \det\begin{pmatrix}x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w\end{pmatrix}.

Якобиан — коэффициент растяжения объёма. Самые важные замены — цилиндрические и сферические координаты (следующий урок). Для эллипсоида $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1$ замена $x = au$ , $y = bv$ , $z = cw$ превращает его в единичный шар, $J = abc$ , и $V = \frac43\pi abc$ .

import numpy as np

# Монте-Карло для объёма тела z ≤ x, y² ≤ 1 − x, z ≥ 0 в коробке [0,1]×[−1,1]×[0,1]
rng = np.random.default_rng(0)
N = 400000
X, Y, Z = rng.random(N), rng.uniform(-1, 1, N), rng.random(N)
inside = (Z <= X) & (Y**2 <= 1 - X)
print("V ≈", round(2 * inside.mean(), 4), "  точно 8/15 =", round(8 / 15, 4))

Итог

$\iiint_V f\,dV$ — масса (при $f = \rho$ ), объём (при $f = 1$ ).
«По столбикам»: $\iint_D dx\,dy\int_{z_1}^{z_2}f\,dz$ ; «по сечениям»: $\int dz\iint_{D(z)}f\,dx\,dy$ .
Замена переменных: $dV = |J|\,du\,dv\,dw$ .

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

$\displaystyle\iiint_V xyz\,dV$ , $V = [0;\,1]\times[0;\,2]\times[0;\,3]$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).