Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 10 из 64

Замена переменной

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 10

Формула замены

Пусть $x = \psi(t)$ — дифференцируемая и обратимая функция. Тогда $dx = \psi'(t)\,dt$ и

\int f(x)\,dx = \int f\big(\psi(t)\big)\,\psi'(t)\,dt.

Справедливость легко проверить дифференцированием: если $G(t)$ — первообразная правой части, то $\frac{d}{dx}G(\psi^{-1}(x)) = G'(t)\cdot\frac{1}{\psi'(t)} = f(\psi(t))$ .

На практике чаще пишут замену в другую сторону: $t = \varphi(x)$ , $dt = \varphi'(x)\,dx$ , а затем выражают через $t$ всё подынтегральное выражение.

Порядок действий

Выбрать замену $t = \varphi(x)$ (или $x = \psi(t)$ ).
Найти $dt = \varphi'(x)\,dx$ и выразить $dx$ через $dt$ .
Переписать всё подынтегральное выражение через $t$ — от $x$ ничего не должно остаться.
Проинтегрировать по $t$ .
Вернуться к $x$ .

Пример 1. $\int \frac{x\,dx}{\sqrt{x + 1}}$ . Положим $t = \sqrt{x + 1}$ : $x = t^2 - 1$ , $dx = 2t\,dt$ .

\int\frac{(t^2 - 1)\cdot 2t\,dt}{t} = 2\int(t^2 - 1)\,dt = \frac{2t^3}{3} - 2t + C = \frac23(x + 1)^{3/2} - 2\sqrt{x + 1} + C.

Пример 2. $\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1}\,dx$ . Замена $t = e^x$ , $dt = e^x dx$ :

\int\frac{t\,dt}{t + 1} = \int\left(1 - \frac{1}{t + 1}\right)dt = t - \ln(t + 1) + C = e^x - \ln(e^x + 1) + C.

Подведение под дифференциал — та же замена

Запись $\int \sin^2 x\cos x\,dx = \int\sin^2 x\,d(\sin x)$ — это замена $t = \sin x$ без введения буквы $t$ . Для простых случаев удобнее подведение, для сложных — явная замена: в ней труднее ошибиться.

Как выбирать замену

Что видим	Замена
$f(\varphi(x))\,\varphi'(x)$ — функция и её производная	$t = \varphi(x)$
$\sqrt[n]{ax + b}$	$t = \sqrt[n]{ax + b}$
$e^x$ в разных степенях	$t = e^x$
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin t$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a\operatorname{tg} t$ (или $x = a\operatorname{sh} t$ )
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = \frac{a}{\cos t}$ (или $x = a\operatorname{ch} t$ )

Последние три — тригонометрические подстановки: они используют тождества $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$ и $1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$ , чтобы извлечь корень.

Пример 3. $\int\frac{dx}{(1 + x^2)^{3/2}}$ . Замена $x = \operatorname{tg} t$ , $dx = \frac{dt}{\cos^2 t}$ , $1 + x^2 = \frac{1}{\cos^2 t}$ :

\int \cos^3 t\cdot\frac{dt}{\cos^2 t} = \int\cos t\,dt = \sin t + C = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} + C.

(Из $\operatorname{tg} t = x$ следует $\sin t = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ — нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами $x$ и $1$ .)

import sympy as sp

x, t = sp.symbols("x t", positive=True)

# Замена вручную: подставляем x = tg t, dx = dt/cos²t
f = 1 / (1 + x**2) ** sp.Rational(3, 2)
g = sp.simplify(f.subs(x, sp.tan(t)) * sp.diff(sp.tan(t), t))
g = g.replace(sp.Abs, lambda a: a)     # при t ∈ (−π/2; π/2) cos t > 0, модуль снимаем
print("после замены подынтегральная функция:", g)
G = sp.integrate(g, t)
print("∫ по t:", G)
answer = sp.simplify(G.subs(t, sp.atan(x)))
print("возвращаемся к x:", answer)
print("проверка:", sp.simplify(sp.diff(answer, x) - f))

Площадь круга одной заменой

Интеграл $\int\sqrt{1 - x^2}\,dx$ (задача урока) даёт площадь полукруга: подставив пределы $-1$ и $1$ , получим $\frac{\pi}{2}$ . Замена $x = \sin t$ превращает корень в $\cos t$ — вот почему в площади круга появляется $\pi$ .

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(-1, 1, 400)
F = np.arcsin(x) / 2 + x * np.sqrt(1 - x**2) / 2
vis.line(x, {"√(1 − x²)": np.sqrt(1 - x**2), "первообразная F(x)": F}, title="F(1) − F(−1) = π/2 — площадь полукруга", xlabel="x")
print("F(1) − F(−1) =", F[-1] - F[0], "   π/2 =", np.pi / 2)

Итог

$\int f(x)\,dx = \int f(\psi(t))\psi'(t)\,dt$ ; всё выражение, включая $dx$ , переводится в новую переменную.
Замены: внутренняя функция, корень из линейного выражения, $t = e^x$ , тригонометрические подстановки для $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ .
В конце обязательно вернуться к исходной переменной.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

$\displaystyle\int x(x^2 - 3)^5\,dx$ (замена $t = x^2 - 3$ )

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).