Замена переменных и полярные координаты

Формула замены

Пусть x = x(u, v), y = y(u, v) — взаимно однозначное гладкое отображение области G плоскости (u, v) на область D. Маленький прямоугольник du\times dv переходит в маленький криволинейный параллелограмм, натянутый на векторы \left(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}\right)du и \left(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}\right)dv. Его площадь — модуль определителя:

Определитель J называется якобианом — это коэффициент растяжения площади. Формула замены:

Сравните с одномерной заменой dx = \varphi'(t)\,dt: там коэффициент растяжения длины — производная.

Полярные координаты

x = r\cos\varphi, y = r\sin\varphi:

Геометрически: «полярный прямоугольник» dr\times d\varphi — кусочек кольца ширины dr и длины дуги r\,d\varphi.

Когда использовать: область — круг, кольцо, сектор; подынтегральная функция содержит x^2 + y^2.

Пример. \iint_{x^2 + y^2 \le 1}\frac{dx\,dy}{1 + x^2 + y^2} = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^1\frac{r\,dr}{1 + r^2} = 2\pi\cdot\frac12\ln2 = \pi\ln2.

import numpy as np
import vis

phi = np.linspace(0, 2 * np.pi, 400)
curves = {f"r = {r}": (r * np.cos(phi), r * np.sin(phi)) for r in [0.5, 1.0, 1.5, 2.0]}
for k in range(12):
    a = 2 * np.pi * k / 12
    curves[f"φ = {k * 30}°"] = (np.array([0, 2 * np.cos(a)]), np.array([0, 2 * np.sin(a)]))
vis.plane(curves, title="Полярная сетка: клетки — кусочки колец площадью ≈ r·dr·dφ", legend=False)

Клетки дальше от центра больше — поэтому в формуле появляется множитель r.

Интеграл Эйлера–Пуассона

Знаменитое вычисление: I = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx. Первообразная не элементарна, но

Значит, \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt\pi. Множитель r из якобиана как раз и делает интеграл берущимся! Отсюда \Gamma\left(\frac12\right) = \sqrt\pi и нормировочный множитель \frac{1}{\sqrt{2\pi}} у нормального распределения.

import numpy as np

# Проверка: интеграл по квадрату [−L, L]² и по кругу радиуса L сходятся к π
for L in [1, 2, 3, 4]:
    x = np.linspace(-L, L, 1601)
    X, Y = np.meshgrid(x, x)
    h = x[1] - x[0]
    square = np.sum(np.exp(-(X**2 + Y**2))) * h * h
    disk = np.pi * (1 - np.exp(-L**2))
    print(f"L = {L}: по квадрату ≈ {square:.6f}, по кругу = {disk:.6f}")
print("π =", np.pi)

Другие замены

Обобщённые полярные координаты для эллипса \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1: x = ar\cos\varphi, y = br\sin\varphi, J = abr.

Линейные замены для параллелограммов, заданных неравенствами \alpha \le a_1x + b_1y \le \beta, \gamma \le a_2x + b_2y \le \delta: положить u = a_1x + b_1y, v = a_2x + b_2y. Тогда область — прямоугольник, а |J| = \frac{1}{|a_1b_2 - a_2b_1|} (якобиан обратного отображения — обратная величина).

Итог

• dx\,dy = |J|\,du\,dv, J — определитель матрицы частных производных.
• Полярные координаты: dx\,dy = r\,dr\,d\varphi; удобны для кругов и функций от x^2 + y^2.
• \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt\pi — через квадрат интеграла и полярные координаты.