Практикум 2: интегралы посложнее
Как подходить
Здесь почти каждая задача требует двух шагов. Не бойтесь длинных ответов: в задачах 5, 6 и 13 они неизбежны. Ответ принимается в любой форме, если он отличается от верного на константу.
Ключевые шаги
1–4: по частям и циклические
- 1. Дважды по частям с u = \cos x, затем u = \sin x: I = \frac{e^{2x}\cos x}{2} + \frac{e^{2x}\sin x}{4} - \frac I4.
- 2. u = \sin(\ln x), dv = dx, затем снова по частям — цикл: I = x\sin\ln x - x\cos\ln x - I.
- 3. См. пояснение к задаче.
- 4. u = \ln x, dv = x^{-2}dx.
5–7: рациональные функции
- 5. \frac{x}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{1/4}{x - 1} + \frac{1/2}{(x - 1)^2} - \frac{1/4}{x + 1}.
- 6. x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1), \frac{1}{x^3 - 1} = \frac{1/3}{x - 1} - \frac{\frac13 x + \frac23}{x^2 + x + 1}.
- 7. x^4 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) + 1.
8–10: тригонометрия
- 8. t = \operatorname{tg}\frac x2: \int\frac{dt}{t^2 + t + 1}, полный квадрат \left(t + \frac12\right)^2 + \frac34.
- 9. \frac{1}{\sin^4 x} = (1 + \operatorname{ctg}^2 x)\frac{1}{\sin^2 x}, t = \operatorname{ctg} x.
- 10. Нечётная степень синуса: t = \cos x, \int -(1 - t^2)t^4\,dt.
11–14: иррациональности
- 11. См. пояснение.
- 12. x = 2\sin t: \int\frac{2\cos t\,dt}{8\cos^3 t} = \frac14\operatorname{tg} t.
- 13. 2x - x^2 = 1 - (x - 1)^2; это площадь круга: \int\sqrt{1 - u^2}\,du.
- 14. t = \sqrt[3]{x + 1}, dx = 3t^2dt: 3\int\frac{t^2\,dt}{1 + t}.
Сверка ответов
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
problems = [sp.exp(2*x) * sp.cos(x), sp.sin(sp.log(x)), sp.log(x) / x**2, 1 / (x**3 - 1), sp.sqrt(x**2 - 4) / x]
for f in problems:
print(f"∫ {str(f):18} dx = {sp.simplify(sp.integrate(f, x))}")
Практика решено 0 из 16
Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1
Ввод формулы
- \displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
e^(2x)(2cos(x) + sin(x))/5
Задание 2
Ввод формулы
- \displaystyle\int \sin(\ln x)\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
x(sin(ln(x)) - cos(ln(x)))/2
Задание 3
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{x\,\operatorname{arctg} x}{(1 + x^2)^2}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
-arctg(x)/(2(1 + x^2)) + x/(4(1 + x^2)) + arctg(x)/4
Задание 4
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
-(ln(x) + 1)/x
Задание 5
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{x\,dx}{(x - 1)^2 (x + 1)}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
ln|(x - 1)/(x + 1)|/4 - 1/(2(x - 1))
Задание 6
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{dx}{x^3 - 1}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
ln|x - 1|/3 - ln(x^2 + x + 1)/6 - arctg((2x + 1)/sqrt(3))/sqrt(3)
Задание 7
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{x^4\,dx}{x^2 + 1}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
x^3/3 - x + arctg(x)
Задание 8
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{dx}{2 + \sin x} на (-\pi;\,\pi)
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
2/sqrt(3) arctg((2tg(x/2) + 1)/sqrt(3))
Задание 9
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{dx}{\sin^4 x}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
-ctg(x) - ctg(x)^3/3
Задание 10
Ввод формулы
- \displaystyle\int \sin^3 x\cos^4 x\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
-cos(x)^5/5 + cos(x)^7/7
Задание 11
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x}\,dx при x > 2
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
sqrt(x^2 - 4) - 2arctg(sqrt(x^2 - 4)/2)
Задание 12
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{dx}{(4 - x^2)^{3/2}}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
x/(4 sqrt(4 - x^2))
Задание 13
Ввод формулы
- \displaystyle\int \sqrt{2x - x^2}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
arcsin(x - 1)/2 + (x - 1)sqrt(2x - x^2)/2
Задание 14
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{dx}{1 + \sqrt[3]{x + 1}}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
3/2 (x+1)^(2/3) - 3cbrt(x + 1) + 3ln(1 + cbrt(x + 1))
Задание 15
Ввод формулы
- \displaystyle\int \frac{x e^x}{(x + 1)^2}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
e^x/(x + 1)
Задание 16
Программа на Python
Проверяльщик. Напишите функцию check(F_text, f_text): строки — выражения SymPy от x
(кандидат в первообразные и подынтегральная функция). Верните True, если F' - f упрощается до нуля
(sp.simplify(...) == 0) или численно равно нулю в точках 0.3, 0.7, 1.1, 1.9 (с точностью 10^{-9}) —
упрощение не всегда справляется.
Какие тесты проверяют код (1)
assert check("x**3/3", "x**2")
assert check("-cos(2*x)/4", "sin(x)*cos(x)")
assert check("sin(x)**2/2 + 7", "sin(x)*cos(x)")
assert not check("x**3", "x**2")
assert check("exp(x)/(x + 1)", "x*exp(x)/(x + 1)**2")
assert not check("log(x)", "1/x**2")
Эталонное решение (ваше может отличаться):
import sympy as sp
def check(F_text, f_text):
x = sp.symbols("x")
diff = sp.diff(sp.sympify(F_text), x) - sp.sympify(f_text)
if sp.simplify(diff) == 0:
return True
return all(abs(complex(diff.subs(x, v).evalf())) < 1e-9 for v in [0.3, 0.7, 1.1, 1.9])
Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.