Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика твёрдого тела / урок 37 из 45

Теория: уравнение динамики вращения

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 6

Основное уравнение

Для вращения вокруг неподвижной оси Z:

\boxed{I_z\beta_z = M_z}

\beta — угловое ускорение, M_z — сумма моментов внешних сил относительно оси. Аналог ma = F.

Для плоского движения то же уравнение верно относительно оси через центр масс (даже если центр масс ускоряется), и к нему добавляется уравнение для центра масс:

m\vec a_C = \sum\vec F, \qquad I_C\beta = \sum M_C.

Кинематические связи

Уравнений динамики всегда не хватает — нужны связи между ускорениями:

Связь Уравнение
Нить сматывается с блока без проскальзывания a = \beta R
Качение без проскальзывания a_C = \beta R, v_C = \omega R
Точка тела закреплена (ось) центр движется по окружности: a_{C\tau} = \beta d, a_{Cn} = \omega^2 d
Точка тела висит на натянутой вертикальной нити, скорости нулевые вертикальное ускорение этой точки равно нулю

«Сразу после»: скорости ещё нулевые

В задачах «найти силу сразу после пережигания/отпускания» все скорости и угловые скорости равны нулю. Значит, нет нормальных ускорений \omega^2r и v^2/R; ускорение точки тела \vec a_P = \vec a_C + \vec\beta\times\vec r_{CP}. Это сильно упрощает связи.

Пример: стержень на оси, отпущен из горизонтального положения

Ось через конец, I = \frac13ml^2. Момент тяжести mg\frac l2:

\beta = \frac{mgl/2}{ml^2/3} = \frac{3g}{2l}, \qquad a_C = \beta\frac l2 = \frac34g.
Сила со стороны оси: mg - N = ma_C ⇒ N = \frac14mg. Стержень «почти падает свободно».

Энергия вращения

K = \frac{I\omega^2}{2} \ \text{(вокруг неподвижной оси)}, \qquad K = \frac{mv_C^2}{2} + \frac{I_C\omega^2}{2} \ \text{(плоское движение)}.

Работа момента силы при повороте: A = \int M_z\,d\varphi; при постоянном моменте A = M\varphi.

Итог

  • I\beta = M относительно неподвижной оси или центра масс.
  • Добавьте m\vec a_C = \sum\vec F и кинематические связи.
  • «Сразу после» — скорости нулевые, нормальных ускорений нет.

Практика решено 0 из 6

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

На блок (сплошной диск массы M, радиуса R) намотана нить, к концу привязан груз массы m. Ускорение груза?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, M, g.

Задание 2 Ввод формулы

Стержень длины l подвешен за конец на горизонтальной оси, его отвели в горизонтальное положение и отпустили. Угловое ускорение в первый момент?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: g, l.

Задание 3 Ввод формулы

…ускорение центра стержня в этот момент?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: g, l.

Задание 4 Ввод формулы

…сила, с которой ось действует на стержень массы m в этот момент?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, g, l.

Задание 5 Ввод формулы

Иродов, 1.291 (идея). Стержень вращается вокруг оси, момент инерции I, начальная угловая скорость \omega_0. Постоянный тормозящий момент N. Число оборотов до остановки?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: I, omega0, N.

Задание 6 Ввод формулы

Кинетическая энергия диска массы m, радиуса R, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью \omega?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, R, omega.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.