Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика твёрдого тела / урок 39 из 45

Теория: плоское движение и качение

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 6

Плоское движение

Любое плоское движение твёрдого тела = поступательное движение вместе с центром масс + вращение вокруг центра масс:

m\vec a_C = \sum\vec F, \qquad I_C\beta = \sum M_C.

Скорость любой точки: \vec v_P = \vec v_C + \vec\omega\times\vec r_{CP}.

Качение без проскальзывания

Точка касания с неподвижной поверхностью имеет нулевую скорость:

v_C = \omega R, \qquad a_C = \beta R.

Тело в каждый момент вращается вокруг точки касания (мгновенная ось). Верхняя точка обода имеет скорость 2v_C.

Скатывание с наклонной: общий метод

Силы: m\vec g, \vec N, трение покоя \vec F_{тр} (вверх по склону). Обозначим I_C = cmR^2.

ma = mg\sin\alpha - F_{тр}, \qquad cmR^2\beta = F_{тр}R, \qquad a = \beta R.

Отсюда F_{тр} = cma и

\boxed{a = \frac{g\sin\alpha}{1 + c}}, \qquad F_{тр} = \frac{c}{1 + c}\,mg\sin\alpha.
Тело c = I_C/mR^2 a/(g\sin\alpha)
Сплошной шар 2/5 5/7
Сплошной цилиндр 1/2 2/3
Тонкостенная сфера 2/3 3/5
Обруч, тонкостенная труба 1 1/2
Скользит без трения 0 1

Когда качение без проскальзывания возможно

Трение покоя не может превышать kN = kmg\cos\alpha:

\frac{c}{1 + c}\,mg\sin\alpha \le kmg\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad k \ge \frac{c}{1 + c}\operatorname{tg}\alpha.

Если трения не хватает, тело катится с проскальзыванием: тогда F_{тр} = kmg\cos\alpha, а связь a = \beta R уже не выполняется.

Энергия

K = \frac{mv_C^2}{2} + \frac{I_C\omega^2}{2} = \frac{mv_C^2}{2}(1 + c).

Трение покоя работы не совершает, поэтому mgh = \frac{mv^2}{2}(1 + c), v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + c}}. Это быстрый способ проверить ускорение: v^2 = 2as, h = s\sin\alpha ⇒ тот же ответ.

Модель

Выберите тело и угол. Если уменьшать коэффициент трения, в какой-то момент модель покажет проскальзывание.

Итог

  • Плоское движение = поступательное с центром масс + вращение вокруг него.
  • Качение без проскальзывания: v = \omega R, a = \beta R, трение покоя работы не совершает.
  • a = g\sin\alpha/(1 + c), условие k \ge \frac{c}{1 + c}\operatorname{tg}\alpha.

Практика решено 0 из 6

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Тело с моментом инерции I_C = cmR^2 скатывается без проскальзывания по наклонной с углом \alpha. Ускорение центра масс (через c g alpha)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: c, g, alpha.

Задание 2 Ввод формулы

…сила трения покоя (через c m g alpha)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: c, m, g, alpha.

Задание 3 Ввод формулы

Скорость центра сплошного цилиндра, скатившегося без проскальзывания с высоты h из покоя?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: g, h.

Задание 4 Ввод формулы

Кинетическая энергия катящегося обруча массы m со скоростью центра v?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, v.

Задание 5 Один вариант ответа

Какую работу совершает сила трения покоя при качении без проскальзывания?

Задание 6 Один вариант ответа

Шар, цилиндр и обруч одинаковых массы и радиуса одновременно скатываются с одной наклонной. Кто первым внизу?

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.