Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Законы сохранения / урок 25 из 45

Теория: неинерциальные системы и силы инерции

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 6

Зачем нужны неинерциальные системы

Иногда удобнее решать задачу в системе отсчёта, которая сама ускоряется или вращается: в вагоне, на карусели, на вращающейся Земле. Законы Ньютона в такой системе не выполняются «как есть», но их можно спасти, добавив силы инерции.

Уравнение движения

В системе K', которая движется поступательно с ускорением \vec a_0 и вращается с постоянной угловой скоростью \vec\omega:

m\vec a' = \vec F - m\vec a_0 + m\omega^2\vec R + 2m\,[\vec v'\,\vec\omega].
Сила инерции Формула Когда появляется
Поступательная -m\vec a_0 система ускоряется
Центробежная m\omega^2\vec R (\vec R — от оси до тела, перпендикулярно оси) система вращается
Кориолиса 2m\,[\vec v'\,\vec\omega] тело движется во вращающейся системе

Силы инерции — только в неинерциальной системе

Нельзя одновременно писать центростремительное ускорение и центробежную силу. Либо инерциальная система (m\vec a = \vec F, у тела есть a_n = \omega^2R), либо вращающаяся система (тело покоится, \vec F + m\omega^2\vec R = 0). Смешивание — грубая ошибка.

Работа сил инерции во вращающейся системе

Центробежная сила m\omega^2\vec R направлена от оси и зависит только от расстояния r до оси. Её работа при перемещении от r_1 до r_2 не зависит от пути:

A = \int_{r_1}^{r_2}m\omega^2r\,dr = \frac{m\omega^2(r_2^2 - r_1^2)}{2}.

Это потенциальная сила с энергией U_{цб} = -\dfrac{m\omega^2r^2}{2}.

Сила Кориолиса перпендикулярна скорости \vec v', поэтому её работа всегда равна нулю.

Почему путь не важен

Во вращающейся системе путь может быть любым: смещения вдоль оси или по окружности вокруг оси перпендикулярны центробежной силе, работа на них нулевая. Работа совершается только при изменении расстояния до оси. Это ключ к задаче 1.163.

Пример: энергия во вращающейся системе (Иродов, 1.164)

Шайба массы m скользит по горизонтальному диску (\omega) из центра со скоростью v_0 относительно диска, на расстоянии r её относительная скорость v. Работа трения в системе диска: \dfrac{mv^2}{2} - \dfrac{mv_0^2}{2} = A_{тр} + \dfrac{m\omega^2r^2}{2}, откуда A_{тр} = \dfrac{m(v^2 - v_0^2 - \omega^2r^2)}{2}.

Итог

  • В неинерциальной системе к реальным силам добавляются силы инерции.
  • Центробежная сила потенциальна: A = m\omega^2(r_2^2 - r_1^2)/2.
  • Сила Кориолиса работы не совершает.

Практика решено 0 из 6

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Вагон движется с ускорением a. На какой угол от вертикали (введите \operatorname{tg} угла) отклонится висящий в вагоне отвес?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: a, g.

Задание 2 Ввод формулы

Тело массы m лежит на диске, вращающемся с угловой скоростью \omega, на расстоянии r от оси. Центробежная сила инерции в системе диска?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, omega, r.

Задание 3 Ввод формулы

Максимальная угловая скорость диска, при которой тело на расстоянии r ещё не скользит (коэффициент трения k)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: k, g, r.

Задание 4 Один вариант ответа

Какую работу совершает сила Кориолиса 2m\,\vec v'\times\vec\omega?

Задание 5 Ввод формулы

«Потенциальная энергия» центробежной силы инерции (с нулём на оси вращения) как функция расстояния r от оси?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, omega, r.

Задание 6 Ввод формулы

Стержень вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью \omega. Муфточка массы m закреплена на нём на расстоянии R от оси. С какой силой стержень действует на муфточку в горизонтальном направлении?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, omega, R.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.