Теория: работа, мощность и энергия
Работа
Постоянная сила на перемещении \Delta\vec r: A = \vec F\cdot\Delta\vec r = F\,\Delta r\cos\alpha.
Переменная сила вдоль пути: A = \displaystyle\int\vec F\cdot d\vec r = \int F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz.
| Сила | Работа |
|---|---|
| Тяжести (вблизи Земли) | A = -mg\,\Delta h — не зависит от пути |
| Упругости F = \varkappa x | A = \dfrac{\varkappa x_1^2}{2} - \dfrac{\varkappa x_2^2}{2} |
| Трения скольжения kN | A = -kN\,s — зависит от пути, всегда < 0 |
| Реакции (без проскальзывания, неподвижная опора) | 0 |
Мощность
Средняя мощность — это не F\langle v\rangle «вообще»
\langle P\rangle = A/t всегда. Если сила постоянна, то \langle P\rangle = \vec F\cdot\langle\vec v\rangle. Если скорость меняется линейно во времени, средняя скорость — полусумма. Это пригодится в задаче 1.160.
Энергия
Теорема о кинетической энергии: K_2 - K_1 = A_{\text{всех сил}}, где K = \dfrac{mv^2}{2}.
Потенциальная энергия вводится для консервативных сил (их работа не зависит от пути): A_{\text{конс}} = U_1 - U_2. Тяжести — U = mgh, пружины — U = \varkappa x^2/2, тяготения — U = -\gamma\dfrac{Mm}{r}.
Закон изменения механической энергии:
где A_{\text{неконс}} — работа внешних сил тяги и сил трения (у Иродова — «сторонних» сил). Без трения и тяги E = \text{const}.
Работа силы трения на наклонной
На наклонной плоскости N = mg\cos\alpha — одинаковая при движении вверх и вниз. Поэтому при перемещении на одно и то же расстояние L работа трения одна и та же: A_{тр} = -kmg\cos\alpha\cdot L.
Приём из задачи 1.152
Если тело медленно подняли (без изменения K) и известна работа тяги A, то трение «съело» |A_{тр}| = A - mgh. При спуске по тому же пути трение заберёт столько же: \dfrac{mv^2}{2} = mgh - |A_{тр}| = 2mgh - A. Ни угол, ни коэффициент трения знать не нужно!
Пример: горка произвольной формы (Иродов, 1.151)
Тело медленно втаскивают на горку высоты h с длиной основания l, сила направлена по касательной. На малом участке ds с углом \alpha трение равно kmg\cos\alpha\,ds = kmg\,dx (где dx — горизонтальная проекция). Сумма по всему пути: |A_{тр}| = kmgl. Работа силы тяги A = mg(h + kl) — не зависит от формы горки.
Итог
- A = \vec F\cdot\Delta\vec r, P = \vec F\cdot\vec v, \langle P\rangle = A/t.
- \Delta K = A_{\text{всех}}; \Delta E = A_{\text{тяги}} + A_{\text{трения}}.
- Работа трения на наклонной не зависит от направления движения: -kmg\cos\alpha\cdot L.
Практика решено 0 из 7
Сила \vec F = 3\vec i + 4\vec j (Н) перемещает частицу из точки \vec r_1 = \vec i + 2\vec j в \vec r_2 = 2\vec i - 3\vec j (м). Работа силы (Дж)? (Иродов, 1.146)
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
3*1 + 4*(-5)Брусок массы m сползает по наклонной длины L с углом \alpha, коэффициент трения k. Работа силы трения?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: k, m, g, alpha, L.
-k m g cos(alpha) LТело массы m упало с высоты h без начальной скорости, сопротивления нет. Скорость у земли?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: g, h, m.
sqrt(2 g h)Пружину жёсткости k медленно растягивают от удлинения x_1 до x_2. Какую работу совершает внешняя сила?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: k, x1, x2.
k (x2^2 - x1^2)/2Автомобиль массой 1000 кг движется равномерно со скоростью 20 м/с, сила сопротивления 500 Н. Мощность двигателя (кВт)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
500*20/1000Тело медленно (с постоянной скоростью) втащили вверх по шероховатой горке. Работа силы тяги A равна…
Средняя мощность силы тяжести за всё время полёта тела, брошенного под углом к горизонту (с той же высоты, на которую оно упало)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения.
0Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.