Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Кинематика / урок 6 из 45

Задача 1.10: два тела, брошенные одновременно

⏱ 25 мин · 🧩 заданий: 8

Условие

Иродов, 1.10

Два тела бросили одновременно из одной точки: одно — вертикально вверх, другое — под углом \vartheta = 60^\circ к горизонту. Начальная скорость каждого тела v_0 = 25 м/с. Найти расстояние между телами через t = 1{,}70 с.

Что нужно знать

  • Два тела в поле тяжести движутся друг относительно друга равномерно (урок «Постоянное ускорение и бросок под углом»).
  • Длина разности векторов: |\vec a - \vec b| = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\varphi}.

Идея

Перейдём в систему отсчёта первого тела. В ней ускорение второго \vec g - \vec g = 0, и оно летит по прямой с постоянной скоростью \vec v_{02} - \vec v_{01} из той же точки. Расстояние — это просто скорость × время.

Решение

1. Относительная скорость. Векторы \vec v_{01} (вертикально) и \vec v_{02} (под углом \vartheta к горизонту) имеют длину v_0, угол между ними 90^\circ - \vartheta:

|\vec v_{01} - \vec v_{02}| = \sqrt{v_0^2 + v_0^2 - 2v_0^2\cos(90^\circ - \vartheta)} = v_0\sqrt{2(1 - \sin\vartheta)}.

2. Расстояние. Тела стартуют из одной точки, относительное движение равномерное:

l = v_0t\sqrt{2(1 - \sin\vartheta)}.

3. Числа: \sin60^\circ = 0{,}866, \sqrt{2\cdot0{,}134} = 0{,}518, l = 25\cdot1{,}70\cdot0{,}518 \approx 22 м.

4. Проверка, что оба тела летят. Время полёта: первого 2v_0/g \approx 5{,}1 с, второго 2v_0\sin\vartheta/g \approx 4{,}4 с. Оба больше 1{,}7 с ✓.

Ответ

l = v_0t\sqrt{2(1 - \sin\vartheta)} \approx 22 м.

Проверка «в лоб» через координаты

Первое тело: x_1 = 0, y_1 = v_0t - gt^2/2. Второе: x_2 = v_0\cos\vartheta\,t, y_2 = v_0\sin\vartheta\,t - gt^2/2. Разность:

\Delta x = v_0\cos\vartheta\,t, \qquad \Delta y = v_0(1 - \sin\vartheta)\,t

— слагаемые с g сократились. l^2 = v_0^2t^2\big(\cos^2\vartheta + 1 - 2\sin\vartheta + \sin^2\vartheta\big) = 2v_0^2t^2(1 - \sin\vartheta) ✓.

Проверка предельных случаев

  • \vartheta = 90^\circ: тела летят одинаково, l = 0 ✓.
  • \vartheta = 0: скорости перпендикулярны, l = v_0t\sqrt2 ✓.

Модель

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Считают координаты, но забывают, что gt^2/2 сокращается, — и тонут в арифметике.
  • Берут угол между скоростями равным \vartheta = 60^\circ, а не 90^\circ - \vartheta = 30^\circ.
  • Не проверяют, что тела ещё в воздухе.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. Угол между начальными скоростями тел (в градусах) при \vartheta = 60^\circ?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Модуль относительной скорости |\vec v_{01} - \vec v_{02}| в общем виде (через v_0 и \vartheta; угол \vartheta вводите как theta).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, theta.

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Расстояние между телами через t = 1{,}70 с при v_0 = 25 м/с (м).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 4 Один вариант ответа

Шаг 4. Почему ответ верен именно при t = 1{,}7 с? Что нужно проверить?

Задание 5 Ввод формулы

Похожая задача. Два камня брошены одновременно из одной точки со скоростью 20 м/с: один под углом 30^\circ, другой — 60^\circ к горизонту (в одну сторону). Расстояние между ними через 2 с (м)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача (Иродов, 1.11). Два шарика бросили одновременно из одной точки горизонтально в противоположные стороны со скоростями v_1 = 3{,}0 м/с и v_2 = 4{,}0 м/с. Расстояние между ними в момент, когда их скорости взаимно перпендикулярны (м)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача в общем виде. С высокой башни одновременно бросили два тела с одинаковой скоростью v_0: одно горизонтально, другое вертикально вниз. Расстояние между ними через время t?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, t.

Задание 8 Ввод формулы

Через какое время (с) расстояние между телами в задаче 1.10 станет 30 м?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.