Задача 1.283: момент инерции через две параллельные оси
Условие
Иродов, 1.283
Момент инерции тела относительно взаимно параллельных осей 1 и 2 равен I_1 = 1{,}00 г·м² и I_2 = 3{,}0 г·м². Оси 1 и 2 расположены на расстояниях x_1 = 100 мм и x_2 = 300 мм от центра масс C тела. Найти момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через точку C и параллельной осям 1 и 2.
Что нужно знать
- Теорема Штейнера I = I_C + ma^2 (урок «Момент инерции и теорема Штейнера»).
Идея
Масса тела не дана, но две теоремы Штейнера — это два уравнения с двумя неизвестными: I_C и m.
Решение
Вычитаем: m = \dfrac{I_2 - I_1}{x_2^2 - x_1^2} = \dfrac{2{,}0}{0{,}09 - 0{,}01} = 25 г.
Подставляем в первое:
Ответ
I_C = \dfrac{I_1x_2^2 - I_2x_1^2}{x_2^2 - x_1^2} = 0{,}75 г·м².
Проверка
- I_C < I_1 < I_2 — момент инерции минимален относительно оси через центр масс ✓.
- Размерность: г·м²·м²/м² ✓.
- Масса 25 г положительна — данные согласованы ✓.
Типичные ошибки
Где теряют баллы
- Применяют Штейнера между осями 1 и 2 напрямую: I_2 = I_1 + m(x_2 - x_1)^2.
- Не замечают, что оси могут быть по разные стороны от C — в формулу входят только квадраты расстояний, так что это не важно.
- Путают мм и м: x^2 в м² — 0{,}01 и 0{,}09.
Практика решено 0 из 7
Шаг 1. Масса тела через I1 I2 x1 x2.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: I1, I2, x1, x2.
(I2 - I1)/(x2^2 - x1^2)Шаг 2. Масса тела в граммах: I_1 = 1{,}00 г·м², I_2 = 3{,}0 г·м², x_1 = 100 мм, x_2 = 300 мм.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
(3 - 1)/(0.09 - 0.01)Шаг 3. Момент инерции относительно оси через центр масс в общем виде.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: I1, I2, x1, x2.
(I1 x2^2 - I2 x1^2)/(x2^2 - x1^2)Шаг 4. Числовой ответ (г·м²).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
(1*0.09 - 3*0.01)/(0.09 - 0.01)Похожая задача. Момент инерции тела массы 2 кг относительно оси, проходящей на расстоянии 0{,}5 м от центра масс, равен 1{,}0 кг·м². Чему он равен относительно параллельной оси на расстоянии 1 м от центра масс (кг·м²)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
1 - 2*0.25 + 2*1Похожая задача. Стержень длины 1 м, момент инерции относительно оси через конец 0{,}4 кг·м² (перпендикулярно стержню). Момент инерции относительно оси через точку на расстоянии 0{,}25 м от конца (кг·м²)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
Сначала найдите массу из I = ml^2/3.
1.2/12 + 1.2*0.25^2Ошибочное решение: «I_2 = I_1 + m(x_2 - x_1)^2». Почему оно неверно?
Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.