Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Старт / урок 2 из 45

Математика для механики: векторы, проекции, производные

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 9

Векторы и проекции

Скорость, ускорение, сила, импульс — векторы: у них есть длина (модуль) и направление. В задачах векторное равенство почти всегда превращают в равенства проекций на выбранные оси.

Если вектор \vec v длины v составляет угол \alpha с осью X:

v_x = v\cos\alpha, \qquad v_y = v\sin\alpha, \qquad v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{v_y}{v_x}.

Правило проекции

Проекция = модуль × косинус угла между вектором и положительным направлением оси. Если вектор смотрит против оси, проекция отрицательна. Не «угадывайте» синус или косинус: найдите угол между вектором и осью.

Сложение векторов — по правилу треугольника (конец первого → начало второго) или параллелограмма. В проекциях всё проще: проекции просто складываются.

Длина суммы и разности (теорема косинусов), \varphi — угол между векторами:

|\vec a + \vec b| = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos\varphi}, \qquad |\vec a - \vec b| = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\varphi}.

Скалярное произведение: \vec a\cdot\vec b = ab\cos\varphi = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z. Через него считается работа A = \vec F\cdot\Delta\vec r и мощность P = \vec F\cdot\vec v.

Векторное произведение \vec a\times\vec b (у Иродова [\vec a\,\vec b]) — вектор длины ab\sin\varphi, перпендикулярный обоим, направление по правилу правого винта. Через него определяются момент силы \vec M = \vec r\times\vec F и момент импульса \vec L = \vec r\times\vec p.

Производная — скорость изменения

Если x(t) — координата, то

v_x = \frac{dx}{dt} = \dot x, \qquad a_x = \frac{dv_x}{dt} = \ddot x.

Производная показывает, как быстро меняется величина. Нужные правила: (t^n)' = nt^{n-1}, (\sin\omega t)' = \omega\cos\omega t, (e^{kt})' = ke^{kt}, производная сложной функции \frac{d}{dt}f(x(t)) = f'(x)\,\dot x.

Полезный приём: производная по координате

Если скорость задана как функция координаты v(x), ускорение находится так:

a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = v\,\frac{dv}{dx}.
Это ключ к задаче 1.22.

Интеграл — накопление

Обратная операция: зная скорость, находим перемещение, зная ускорение — скорость:

x(t) = x_0 + \int_0^t v_x(t')\,dt', \qquad v_x(t) = v_{0x} + \int_0^t a_x(t')\,dt'.

Если переменные можно разделить (всё с x в одну сторону, всё с t в другую), уравнение интегрируется: например, из \frac{dx}{dt} = \alpha\sqrt x получаем \frac{dx}{\sqrt x} = \alpha\,dt, откуда 2\sqrt x = \alpha t.

Тригонометрия, которая встречается постоянно

Формула Где нужна
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 всюду
\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha дальность полёта, оптимальный угол
\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2} задачи на экстремум
\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta задача 1.32
1 - \cos\varphi = 2\sin^2\frac{\varphi}{2} задача 1.10
\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha переход между углами к горизонту и к вертикали

Проверка размерности

Самый быстрый способ найти ошибку: в правильной формуле размерности слева и справа совпадают, а под синусом, косинусом, экспонентой и логарифмом стоят безразмерные величины.

Пример. Получили t = \sqrt{2h\,g}. Размерность: \sqrt{\text{м}\cdot\text{м/с}^2} = \text{м/с} — это скорость, а не время. Ошибка! Правильно: t = \sqrt{2h/g}.

На контрольной

Решайте в общем виде (буквами) и только в конце подставляйте числа. Тогда можно проверить размерность и предельные случаи (\alpha \to 0, k \to 0, m_1 = m_2), а проверяющий видит ход мысли.

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Вектор \vec v длины v направлен под углом \alpha к оси X (вверх от неё). Чему равна его проекция v_y на ось Y?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v, alpha.

Задание 2 Ввод формулы

Длина суммы двух векторов длины a и b, угол между которыми \varphi: |\vec a + \vec b| = ?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: a, b, phi.

Задание 3 Ввод формулы

…а длина разности |\vec a - \vec b| для одинаковых по длине векторов (a = b), угол между которыми \varphi?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: a, phi.

Задание 4 Ввод формулы

Координата точки x(t) = 3t^2 - t^3 (м). Скорость v_x(t)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: t.

Задание 5 Ввод формулы

…и ускорение a_x(t)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: t.

Задание 6 Ввод формулы

Скорость v(t) = 4t м/с, в момент t = 0 точка в начале координат. Координата x в момент t = 3 с (м)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Один вариант ответа

Какая формула может быть верной, если v — скорость, g — ускорение, h — высота?

Задание 8 Ввод формулы

\sin 2\alpha через \sin\alpha и \cos\alpha:

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: alpha.

Задание 9 Ввод формулы

\cos^2\alpha через \cos 2\alpha (формула понижения степени):

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: alpha.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.