Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Всемирное тяготение / урок 28 из 45

Теория: тяготение и круговые орбиты

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 8

Закон всемирного тяготения

Две точечные массы (или однородные шары) притягиваются с силой

F = \gamma\frac{m_1m_2}{r^2}, \qquad \gamma = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н·м}^2/\text{кг}^2.

У Иродова гравитационная постоянная обозначена $\gamma$ , во многих учебниках — $G$ .

Ускорение свободного падения на поверхности планеты и на высоте $h$ :

g_0 = \frac{\gamma M}{R^2}, \qquad g(h) = \frac{\gamma M}{(R + h)^2} = g_0\frac{R^2}{(R + h)^2}.

Полезная замена: $\gamma M = g_0R^2$ — если масса планеты не дана, но известны $g$ и $R$ .

Через плотность: $M = \frac43\pi R^3\rho$ , поэтому $g_0 = \frac43\pi\gamma\rho R$ .

Круговая орбита

Сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение:

\frac{mv^2}{r} = \gamma\frac{Mm}{r^2} \quad\Rightarrow\quad \boxed{v = \sqrt{\frac{\gamma M}{r}}}, \qquad T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\gamma M}}.

Масса спутника сократилась — орбита не зависит от массы спутника.

Третий закон Кеплера

$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{\gamma M}\,r^3$ , то есть $T^2 \propto r^3$ для всех тел, вращающихся вокруг одного центра. Для эллипса вместо $r$ — большая полуось. Удобно для сравнений: орбиту Земли знаем ( $1$ а. е., $1$ год), значит для $r = 4$ а. е. период $8$ лет.

Космические скорости

Первая: круговая орбита у поверхности, $v_1 = \sqrt{gR} \approx 7{,}9$ км/с.
Вторая: уйти на бесконечность, $\frac{mv_2^2}{2} = \gamma\frac{Mm}{R}$ , $v_2 = \sqrt2\,v_1 \approx 11{,}2$ км/с.

Энергия

Потенциальная энергия тяготения (ноль на бесконечности): $U = -\gamma\dfrac{Mm}{r}$ . На круговой орбите $K = -U/2$ , полная энергия $E = -\gamma\dfrac{Mm}{2r} < 0$ — орбита связанная.

Модель

Выберите центральное тело и радиус орбиты. Для «планеты плотности ρ» период у поверхности не зависит от её размера — это задача 1.258. Для Земли модель показывает стационарную орбиту — задача 1.261.

Итог

$F = \gamma Mm/r^2$ , $g = \gamma M/R^2 = \frac43\pi\gamma\rho R$ .
Круговая орбита: $v = \sqrt{\gamma M/r}$ , $T = 2\pi\sqrt{r^3/\gamma M}$ , $T^2 \propto r^3$ .
Если не дана масса — используйте $\gamma M = gR^2$ или плотность.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Ускорение свободного падения на поверхности планеты массы $M$ и радиуса $R$ ?

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: gamma, M, R.