Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика твёрдого тела / урок 33 из 45

Теория: центр масс, момент силы, поступательное движение

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 5

Центр масс

\vec r_C = \frac{\sum m_i\vec r_i}{\sum m_i}, \qquad M\vec a_C = \vec F_{\text{внеш}}.

Теорема о движении центра масс: центр масс движется так, как двигалась бы точка массы M под действием суммы всех внешних сил. Внутренние силы на движение центра масс не влияют. Для однородного стержня центр масс — в середине.

Момент силы

Относительно точки O: \vec M = \vec r\times\vec F, модуль M = F\cdot l, где l — плечо, расстояние от O до линии действия силы.

Относительно оси: M_z — проекция на ось. На практике: плечо × сила, со знаком «+» для поворота против часовой стрелки (если ось Z к нам).

Как найти плечо

Продлите линию действия силы и опустите на неё перпендикуляр из точки (оси). Длина перпендикуляра — плечо. Если сила направлена через точку, её момент ноль.

Условия движения твёрдого тела

Для плоского движения твёрдого тела достаточно двух уравнений:

M\vec a_C = \sum\vec F_{\text{внеш}}, \qquad I_C\beta = \sum M_C.

Второе — уравнение моментов относительно центра масс (или неподвижной оси). Подробно — в уроке «Уравнение динамики вращения».

Поступательное движение (\beta = 0, тело не поворачивается):

M\vec a_C = \sum\vec F, \qquad \sum M_C = 0.

Относительно какой точки моменты?

Для ускоренно движущегося тела моменты считайте относительно центра масс. Относительно другой точки (например, конца стержня) сумма моментов не равна нулю, если a \ne 0: нужно учитывать «момент силы инерции» -M\vec a_C, приложенной в центре масс. Для покоящегося тела можно брать любую точку.

Пример: стержень, который тянут двумя силами

Стержень длины l лежит на гладком столе, к его концам приложены противоположно направленные силы F_1 < F_2, перпендикулярные стержню. Может ли он двигаться поступательно? Моменты относительно центра: F_1\frac l2 и F_2\frac l2 в одну сторону — сумма не ноль. Не может: стержень будет поворачиваться. Чтобы движение было поступательным, силы нужно приложить так, чтобы их моменты относительно центра масс компенсировались — это задача 1.272.

Равновесие

Тело покоится, если \sum\vec F = 0 и \sum\vec M = 0 относительно любой точки. Выбирайте точку, через которую проходят неизвестные силы, — они исчезнут из уравнения моментов.

Итог

  • M\vec a_C = \sum\vec F — центр масс движется как точка.
  • Момент силы = F\cdot плечо.
  • Поступательное движение: сумма моментов относительно центра масс равна нулю.

Практика решено 0 из 5

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Две точечные массы m_1 и m_2 на расстоянии l друг от друга. Расстояние от m_1 до центра масс?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, l.

Задание 2 Ввод формулы

Сила F приложена к концу ключа длины l под углом \alpha к ключу. Момент силы относительно оси болта?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: F, l, alpha.

Задание 3 Один вариант ответа

Твёрдое тело движется поступательно (без вращения) с ускорением. Чему равна сумма моментов внешних сил?

Задание 4 Ввод формулы

Однородная доска длины L и массы m лежит на двух опорах по концам. На расстоянии L/4 от левого конца стоит груз массы M. Сила реакции левой опоры?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, M, g, L.

Задание 5 Ввод формулы

Иродов, 1.274. К точке \vec r_1 = a\vec i приложена сила \vec F_1 = A\vec j, к точке \vec r_2 = b\vec j — сила \vec F_2 = B\vec i. Плечо равнодействующей относительно начала координат?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: a, b, A, B.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.