Задача 1.272: длина стержня по приложенным силам
Условие
Иродов, 1.272
Тонкий однородный стержень AB массы m = 1{,}0 кг движется поступательно с ускорением a = 2{,}0 м/с² под действием сил \vec F_1 и \vec F_2 (рис. 1.49). Расстояние b = 20 см, сила F_2 = 5{,}0 Н. Найти длину стержня.
Что нужно знать
- Теорема о движении центра масс, моменты сил, условие поступательного движения (урок «Центр масс, момент силы»).
Идея
Два уравнения — две неизвестные (F_1 и l). Сумма сил даёт ускорение центра масс. Стержень не поворачивается — сумма моментов относительно центра масс C равна нулю.
Решение
1. Второй закон (ось — вправо, по ускорению):
2. Моменты относительно центра C (середина стержня). F_1 приложена на расстоянии \frac l2 выше C, F_2 — на расстоянии \frac l2 - b выше C. Силы противоположны, поэтому вращают стержень в разные стороны:
3. Решаем: (F_2 - F_1)\dfrac l2 = F_2b, и с учётом F_2 - F_1 = ma:
Ответ
l = \dfrac{2bF_2}{ma} = 1{,}0 м.
Проверка
- Подставим: F_1\frac l2 = 3\cdot0{,}5 = 1{,}5; F_2(\frac l2 - b) = 5\cdot0{,}3 = 1{,}5 ✓.
- b \to 0: обе силы на одном конце, моменты могут скомпенсироваться только при F_1 = F_2, то есть a = 0 — тогда l любое, формула даёт 0/0 ✓.
- Размерность: $\dfrac{\text{м·Н}}{\text{кг·м/с}^2} = $ м ✓.
Типичные ошибки
Где теряют баллы
- Пишут моменты относительно конца A и приравнивают нулю: F_2b = 0 — абсурд. Относительно A нужно учесть силу инерции.
- Берут плечо F_2 равным b относительно центра.
- Ошибаются в знаке: F_2 - F_1 = ma, а не F_1 + F_2.
Практика решено 0 из 7
Шаг 1. Сила F_1 (Н) из второго закона Ньютона: m = 1{,}0 кг, a = 2{,}0 м/с², F_2 = 5{,}0 Н.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
5 - 1*2Шаг 2. Уравнение моментов относительно центра масс даёт F_1\frac l2 = F_2\left(\frac l2 - b\right). Выразите l через F1 F2 b.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: F1, F2, b.
F_1 < F_2, иначе стержень не мог бы ускоряться в сторону F_2.
2 F2 b/(F2 - F1)Шаг 3. Ответ в общем виде через F2 b m a.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: F2, b, m, a.
2 b F2/(m a)Шаг 4. Длина стержня (м), b = 20 см.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
2*0.2*5/(1*2)Похожая задача. Те же условия, но b = 10 см, F_2 = 4{,}0 Н, a = 1{,}0 м/с², m = 1{,}0 кг. Длина стержня (м)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
2*0.1*4/(1*1)Похожая задача. Стержень длины l и массы m на гладком столе. К концу A приложена сила F_1, а на каком расстоянии x от конца A нужно приложить противоположно направленную силу F_2 > F_1, чтобы стержень двигался поступательно?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: l, F1, F2.
l (F2 - F1)/(2 F2)Можно ли в задаче 1.272 писать уравнение моментов относительно конца A, приравнивая сумму моментов нулю?
Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.