Задача 1.261: геостационарный спутник
Условие
Иродов, 1.261
Вычислить радиус круговой орбиты стационарного спутника Земли, который остаётся неподвижным относительно её поверхности. Какова его скорость в инерциальной системе отсчёта, связанной в данный момент с центром Земли?
Что нужно знать
- T = 2\pi\sqrt{r^3/\gamma M} для круговой орбиты (урок «Тяготение и круговые орбиты»).
- Земля вращается вокруг оси с периодом T = 24 ч (точнее, звёздные сутки 23 ч 56 мин; разница меньше процента).
Идея
Неподвижен относительно поверхности — значит, вращается вместе с Землёй: угловая скорость спутника равна угловой скорости Земли, период — суткам. Отсюда третий закон Кеплера даёт радиус.
Решение
1. Радиус. T^2 = \dfrac{4\pi^2r^3}{\gamma M} ⇒
Если масса Земли не дана: \gamma M = gR^2, тогда r = \sqrt[3]{gR^2T^2/4\pi^2} — то же число.
2. Скорость в инерциальной системе:
3. Высота над поверхностью: r - R \approx 42\,200 - 6370 \approx 35\,800 км.
Ответ
r = \sqrt[3]{\gamma M(T/2\pi)^2} \approx 4{,}2\cdot10^4 км (около 6{,}6 радиуса Земли), v = 2\pi r/T \approx 3{,}1 км/с. Орбита лежит в плоскости экватора.
Проверка
- v = \sqrt{\gamma M/r} = \sqrt{3{,}98\cdot10^{14}/4{,}22\cdot10^7} \approx 3{,}07 км/с — совпадает ✓.
- Скорость меньше первой космической (7{,}9 км/с) — так и должно быть для далёкой орбиты ✓.
Модель
Модель с Землёй показывает стационарную орбиту в подписи. Поставьте r \approx 6{,}6 — период станет около суток.
Типичные ошибки
Где теряют баллы
- Путают «неподвижен относительно поверхности» с «скорость равна нулю» — в инерциальной системе он движется со скоростью 3{,}1 км/с.
- Пишут T = 24 без перевода в секунды.
- Берут кубический корень из одного множителя, а не из всего выражения.
Практика решено 0 из 8
Шаг 1. Радиус стационарной орбиты в общем виде через gamma M T.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: gamma, M, T.
(gamma M T^2/(4 pi^2))^(1/3)Шаг 2. То же через ускорение свободного падения g и радиус Земли R (g R T).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: g, R, T.
(g R^2 T^2/(4 pi^2))^(1/3)Шаг 3. Радиус орбиты в километрах (M = 5{,}97\cdot10^{24} кг, T = 24 ч).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
(6.67*10^(-11)*5.97*10^24*86400^2/(4 pi^2))^(1/3)/1000Шаг 4. Скорость спутника в инерциальной системе, связанной с центром Земли (км/с).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
2 pi (6.67*10^(-11)*5.97*10^24*86400^2/(4 pi^2))^(1/3)/86400/1000Высота стационарной орбиты над поверхностью (км), R = 6370 км.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
(6.67*10^(-11)*5.97*10^24*86400^2/(4 pi^2))^(1/3)/1000 - 6370Почему стационарный спутник может висеть только над экватором?
Похожая задача. Стационарная орбита Марса: масса 6{,}42\cdot10^{23} кг, сутки 24{,}6 ч. Радиус орбиты (тыс. км)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
(6.67*10^(-11)*6.42*10^23*(24.6*3600)^2/(4 pi^2))^(1/3)/10^6Похожая задача (Иродов, 1.263). Спутник в экваториальной плоскости движется с запада на восток по круговой орбите радиуса 2{,}00\cdot10^4 км и появляется над одним и тем же пунктом экватора каждые \tau = 11{,}6 ч. Масса Земли по этим данным (10^{24} кг)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
Угловая скорость спутника относительно Земли \omega - \Omega = 2\pi/\tau, где \Omega = 2\pi/T — вращение Земли.
4 pi^2 (2*10^7)^3/(6.67*10^(-11)) (1/(11.6*3600) + 1/86400)^2/10^24Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.