Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Кинематика / урок 9 из 45

Задача 1.22: скорость, зависящая от координаты

⏱ 25 мин · 🧩 заданий: 9

Условие

Иродов, 1.22

Частица движется в положительном направлении оси X так, что её скорость меняется по закону v = \alpha\sqrt x, где \alpha — положительная постоянная. В момент t = 0 частица находилась в точке x = 0. Найти:

а) её скорость и ускорение как функции времени;

б) среднюю скорость за время, в течение которого она пройдёт первые s метров пути.

Что нужно знать

  • a = v\,\dfrac{dv}{dx} и разделение переменных (урок «Движение с переменной скоростью»).
  • Средняя скорость = путь / время.

Способ 1: сначала ускорение

a = v\frac{dv}{dx} = \alpha\sqrt x\cdot\frac{\alpha}{2\sqrt x} = \frac{\alpha^2}{2} = \text{const}.

Движение равноускоренное, а при x = 0 скорость v = 0 — старт из покоя. Значит,

v = at = \frac{\alpha^2t}{2}, \qquad x = \frac{at^2}{2} = \frac{\alpha^2t^2}{4}.

Способ 2: разделение переменных

\frac{dx}{dt} = \alpha\sqrt x \quad\Rightarrow\quad \int_0^x\frac{dx}{\sqrt x} = \alpha\int_0^t dt \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt x = \alpha t \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\alpha^2t^2}{4}.

Дифференцируем: v = \dfrac{\alpha^2t}{2}, a = \dfrac{\alpha^2}{2} — то же самое.

Тонкость: почему частица вообще сдвигается с места

В точке x = 0 скорость равна нулю, и формально x(t) \equiv 0 тоже удовлетворяет уравнению \dot x = \alpha\sqrt x. Условие задачи говорит, что частица движется, поэтому выбираем ненулевое решение. Ускорение в x = 0 при этом равно \alpha^2/2 \ne 0 — именно оно сдвигает частицу.

Пункт б: средняя скорость

Время прохождения пути s: из x = \alpha^2t^2/4 получаем t_s = \dfrac{2\sqrt s}{\alpha}. Тогда

\langle v\rangle = \frac{s}{t_s} = \frac{\alpha\sqrt s}{2}.

Проверка: для равноускоренного движения из покоя средняя скорость — половина конечной, а конечная v(s) = \alpha\sqrt s ✓.

Ответ

а) v = \dfrac{\alpha^2t}{2}, a = \dfrac{\alpha^2}{2}; б) \langle v\rangle = \dfrac{\alpha\sqrt s}{2}.

Проверка размерности

[\alpha] = \dfrac{\text{м/с}}{\text{м}^{1/2}} = \text{м}^{1/2}/\text{с}. Тогда [\alpha^2 t] = \text{м/с} ✓, [\alpha^2] = \text{м/с}^2 ✓, [\alpha\sqrt s] = \text{м/с} ✓.

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Пишут a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d}{dt}(\alpha\sqrt x) = 0, «потому что \alpha постоянна» — забывают, что x зависит от t.
  • Ищут среднюю скорость как среднее значение \alpha\sqrt x по координате: \frac1s\int_0^s\alpha\sqrt x\,dx = \frac23\alpha\sqrt s. Это не средняя скорость по времени.

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. Ускорение частицы через \alpha (используйте a = v\,dv/dx).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: alpha, x.

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Скорость как функция времени v(t).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: alpha, t.

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Координата как функция времени x(t).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: alpha, t.

Задание 4 Ввод формулы

Шаг 4. Время, за которое частица проходит путь s.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: alpha, s.

Задание 5 Ввод формулы

Шаг 5. Средняя скорость на первых s метрах пути.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: alpha, s.

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача с числами. v = \alpha\sqrt x, \alpha = 2 м$^{1/2}$/с. Какой путь (м) частица пройдёт за первые 3 с?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача. Скорость частицы v = \beta x^2 (\beta > 0). Ускорение как функция x?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: beta, x.

Задание 8 Ввод формулы

Похожая задача. Частица движется вдоль X так, что v = b/x, в момент t = 0 она в точке x_0 > 0. Найдите x(t).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: b, x0, t.

Задание 9 Ввод формулы

Похожая задача (обратная). Частица из покоя в точке x = 0 движется с постоянным ускорением a. Запишите её скорость как функцию координаты v(x).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: a, x.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.