Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Законы сохранения / урок 20 из 45

Теория: импульс и абсолютно неупругий удар

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 6

Импульс

Импульс тела \vec p = m\vec v, импульс системы \vec P = \sum m_i\vec v_i = M\vec v_C, где \vec v_C — скорость центра масс.

Закон изменения импульса: \dfrac{d\vec P}{dt} = \vec F_{\text{внеш}} — внутренние силы попарно сокращаются по третьему закону.

Закон сохранения: если \vec F_{\text{внеш}} = 0, то \vec P = \text{const}.

Когда импульс сохраняется «почти»

  1. Проекция: если внешние силы перпендикулярны оси X, сохраняется P_x, даже если \vec P меняется.
  2. Короткое взаимодействие (удар, взрыв, выстрел): внутренние силы огромны, а конечные внешние силы (тяжесть, трение) не успевают изменить импульс. Сохраняется импульс непосредственно до и после удара.

Абсолютно неупругий удар

Тела после удара движутся вместе (слипаются, муфточки сцепляются):

m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = (m_1 + m_2)\vec u \quad\Rightarrow\quad \vec u = \frac{m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2}{m_1 + m_2}.

Энергия не сохраняется: часть переходит в тепло и деформацию,

Q = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} - \frac{(m_1 + m_2)u^2}{2} = \frac{\mu\,(\vec v_1 - \vec v_2)^2}{2}, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}.

Не применяйте закон сохранения энергии к неупругому удару

Самая частая ошибка — приравнять кинетические энергии до и после слипания. В неупругом ударе сохраняется только импульс.

Удар на кривой траектории

Если тела движутся по гладкой направляющей (проволоке, жёлобу), то во время удара сила реакции направляющей перпендикулярна ей. Поэтому сохраняется проекция импульса на касательную в точке удара. С учётом направлений — это одномерная задача: скорости вдоль касательной со знаками.

Пример

Муфточки массами 1 кг и 3 кг движутся навстречу по гладкому кольцу со скоростями 4 и 2 м/с. После сцепления: u = \dfrac{1\cdot4 - 3\cdot2}{4} = -0{,}5 м/с — общая муфта поедет в сторону второй со скоростью 0{,}5 м/с.

Итог

  • \vec P = \text{const} без внешних сил; сохраняется проекция, если внешние силы ей перпендикулярны.
  • Неупругий удар: \vec u = \dfrac{\sum m_i\vec v_i}{\sum m_i}, энергия теряется.
  • На гладкой направляющей сохраняется касательная составляющая импульса.

Практика решено 0 из 6

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Шар массы m_1 со скоростью v_1 налетает на покоящийся шар массы m_2 и слипается с ним. Скорость после удара?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, v1.

Задание 2 Ввод формулы

…какая доля кинетической энергии перешла в тепло? Введите \Delta K/K_0.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, v1.

Задание 3 Ввод формулы

Тела массами m_1 и m_2 движутся навстречу со скоростями v_1 и v_2 и слипаются. Модуль скорости после удара (считайте, что m_1v_1 > m_2v_2)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, v1, v2.

Задание 4 Ввод формулы

Иродов, 1.125. Частица 1 столкнулась с частицей 2 (масса вдвое больше) и слиплась. Скорости до удара \vec v_1 = 2\vec i + 3\vec j, \vec v_2 = 4\vec i - 5\vec j (м/с). Модуль скорости составной частицы (м/с)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 5 Один вариант ответа

Снаряд разорвался в верхней точке траектории. Что сохраняется в момент разрыва?

Задание 6 Несколько вариантов

Бусинка на гладкой проволоке-кольце в горизонтальной плоскости сталкивается с другой бусинкой. Какие утверждения верны?

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.