Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Кинематика / урок 11 из 45

Задача 1.43: вписанный угол и скорость частицы

⏱ 25 мин · 🧩 заданий: 8

Условие

Иродов, 1.43

Частица A движется по окружности радиуса R = 50 см так, что её радиус-вектор \vec r относительно точки O (рис. 1.5) поворачивается с постоянной угловой скоростью \omega = 0{,}40 рад/с. Найти модуль скорости частицы, а также модуль и направление её полного ускорения.

OArR
Рис. 1.5: вектор r из точки O окружности к частице A

Что нужно знать

  • Вписанный угол равен половине центрального (урок «Движение по окружности»).
  • v = \omega R, a_n = v^2/R.

Идея

Нам дана угловая скорость не того вектора: \vec r проведён не из центра. Но по теореме о вписанном угле радиус CA поворачивается ровно вдвое быстрее, чем хорда OA. Значит, частица равномерно движется по окружности с угловой скоростью 2\omega.

Решение

1. Пусть хорда OA составляет угол \varphi с диаметром, проходящим через O. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 2\varphi. Поэтому угловая скорость частицы относительно центра:

\Omega = \frac{d(2\varphi)}{dt} = 2\omega = \text{const}.

2. Скорость: v = \Omega R = 2\omega R = 2\cdot0{,}40\cdot0{,}50 = 0{,}40 м/с.

3. Движение равномерное ⇒ a_\tau = 0, ускорение чисто нормальное:

a = \frac{v^2}{R} = \Omega^2R = 4\omega^2R = 4\cdot0{,}16\cdot0{,}50 = 0{,}32\ \text{м/с}^2,

направлено к центру окружности.

Ответ

v = 2\omega R = 0{,}40 м/с; a = 4\omega^2R = 0{,}32 м/с², ускорение направлено к центру окружности.

Альтернатива: координаты

Поместим O в начало координат, центр — в точку (R, 0). Хорда под углом \varphi к оси X имеет длину r = 2R\cos\varphi, поэтому

x = r\cos\varphi = R(1 + \cos2\varphi), \qquad y = r\sin\varphi = R\sin2\varphi.

При \varphi = \omega t: \dot x = -2R\omega\sin2\omega t, \dot y = 2R\omega\cos2\omega t, v = 2R\omega ✓. Вторые производные дают вектор длины 4R\omega^2, направленный от точки (x, y) к (R, 0) — к центру ✓.

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Пишут v = \omega r — но \vec r проведён не из центра и его длина меняется; это не скорость частицы.
  • Пишут v = \omega R — теряют двойку.
  • Ищут тангенциальное ускорение: его нет, движение равномерное.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. С какой угловой скоростью частица движется вокруг центра окружности (через \omega)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: omega.

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Модуль скорости частицы при R = 50 см, \omega = 0{,}40 рад/с (м/с).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Модуль полного ускорения (м/с²).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 4 Один вариант ответа

Шаг 4. Куда направлено ускорение частицы?

Задание 5 Ввод формулы

Ответ в общем виде: модуль ускорения через \omega и R.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: omega, R.

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача. Частица движется по окружности радиуса 1{,}0 м так, что хорда, проведённая к ней из фиксированной точки окружности, поворачивается с угловой скоростью 0{,}5 рад/с. Скорость частицы (м/с)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача (обратная). Частица равномерно движется по окружности радиуса R со скоростью v. С какой угловой скоростью поворачивается вектор, проведённый к ней из точки O, лежащей на этой окружности?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v, R.

Задание 8 Ввод формулы

Похожая задача. Длина хорды r = |OA| в задаче 1.43 меняется со временем. Найдите скорость её изменения \dot r, если в начальный момент частица находилась в точке, диаметрально противоположной O (угол \varphi = \omega t отсчитывается от диаметра).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: R, omega, t.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.