Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Законы сохранения / урок 21 из 45

Задача 1.128: столкновение муфточек на кольце

⏱ 25 мин · 🧩 заданий: 8

Условие

Иродов, 1.128

Две небольшие муфточки масс m_1 = 0{,}10 кг и m_2 = 0{,}20 кг движутся навстречу друг другу по гладкому горизонтальному проводу, изогнутому в виде окружности, с постоянными нормальными ускорениями a_1 = 3{,}0 м/с² и a_2 = 9{,}0 м/с². Найти нормальное ускорение составной муфты, образовавшейся после столкновения.

Что нужно знать

  • Нормальное ускорение a_n = v^2/R (урок «Движение по окружности»).
  • Абсолютно неупругий удар, сохранение импульса вдоль касательной на гладкой направляющей (урок «Импульс и неупругий удар»).

Идея

Радиус кольца не дан, но он и не нужен: скорости выражаются через ускорения как v = \sqrt{aR}, а в ответ R не войдёт. В момент удара провод действует перпендикулярно себе, поэтому импульс вдоль касательной сохраняется.

Решение

1. Скорости до удара: v_1 = \sqrt{a_1R}, v_2 = \sqrt{a_2R}, направлены навстречу.

2. Сохранение импульса вдоль касательной (положительное направление — движение первой муфточки):

m_1v_1 - m_2v_2 = (m_1 + m_2)u \quad\Rightarrow\quad u = \frac{m_1\sqrt{a_1} - m_2\sqrt{a_2}}{m_1 + m_2}\sqrt R.

3. Нормальное ускорение после удара:

a = \frac{u^2}{R} = \left(\frac{m_1\sqrt{a_1} - m_2\sqrt{a_2}}{m_1 + m_2}\right)^2.

4. Числа: \dfrac{0{,}1\cdot1{,}73 - 0{,}2\cdot3}{0{,}3} = \dfrac{-0{,}427}{0{,}3} = -1{,}42; a = 1{,}42^2 \approx 2{,}0 м/с². Знак минус — составная муфта движется в сторону второй.

Ответ

a = \dfrac{\left(m_1\sqrt{a_1} - m_2\sqrt{a_2}\right)^2}{(m_1 + m_2)^2} \approx 2{,}0 м/с².

Проверка

  • m_2 = 0: a = a_1 — первая муфточка «не заметила» удара ✓.
  • Размерность: (\text{кг}\cdot\sqrt{\text{м/с}^2})^2/\text{кг}^2 = \text{м/с}^2 ✓.
  • Ускорение уменьшилось: в неупругом ударе навстречу кинетическая энергия теряется ✓.

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Складывают импульсы, забыв, что муфточки движутся навстречу.
  • Пытаются сохранить энергию: «m_1a_1 + m_2a_2 = (m_1 + m_2)a» — неверно, удар неупругий.
  • Сохраняют ускорения вместо скоростей: a = \frac{m_1a_1 - m_2a_2}{m_1 + m_2}.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. Скорость муфточки через её нормальное ускорение a и радиус кольца R?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: a, R.

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Скорость составной муфты после удара (через m1 m2 a1 a2 R; положительное направление — движение первой муфточки).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, a1, a2, R.

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Нормальное ускорение составной муфты в общем виде.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, a1, a2.

Задание 4 Ввод формулы

Шаг 4. Числа: m_1 = 0{,}10 кг, m_2 = 0{,}20 кг, a_1 = 3{,}0 м/с², a_2 = 9{,}0 м/с². Ответ (м/с²).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 5 Один вариант ответа

В какую сторону поедет составная муфта?

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача. m_1 = 0{,}3 кг, a_1 = 4 м/с²; m_2 = 0{,}1 кг, a_2 = 16 м/с². Нормальное ускорение после сцепления (м/с²)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача. Какая доля кинетической энергии перешла в тепло в условиях задачи 1.128? Введите Q/K_0.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 8 Ввод формулы

Похожая задача. Две одинаковые муфточки движутся навстречу по кольцу с одинаковыми по модулю скоростями. Нормальное ускорение после сцепления?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.