Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Кинематика / урок 7 из 45

Задача 1.32: столкновение двух снарядов

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 8

Условие

Иродов, 1.32

Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v_0 = 250 м/с: первый — под углом \vartheta_1 = 60^\circ к горизонту, второй — под углом \vartheta_2 = 45^\circ (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Что нужно знать

  • Координаты при броске: x = v_0\cos\vartheta\,t, y = v_0\sin\vartheta\,t - gt^2/2.
  • Формулы: \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta, a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

Идея

Снаряды столкнутся в точке пересечения траекторий, если окажутся там одновременно. Пусть первый снаряд летел до встречи t_1, второй t_2; тогда \Delta t = t_1 - t_2. Два неизвестных — два уравнения: равенство x и равенство y.

Рисунок

встреча1: ϑ₁ = 60°2: ϑ₂ = 45°пушка
Траектории пересекаются на нисходящей ветви первого снаряда

Решение

1. Равенство горизонтальных координат:

v_0\cos\vartheta_1\,t_1 = v_0\cos\vartheta_2\,t_2 \quad\Rightarrow\quad t_2 = t_1\frac{\cos\vartheta_1}{\cos\vartheta_2}.

2. Равенство высот:

v_0\sin\vartheta_1\,t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = v_0\sin\vartheta_2\,t_2 - \frac{gt_2^2}{2}
v_0\big(\sin\vartheta_1\,t_1 - \sin\vartheta_2\,t_2\big) = \frac g2\big(t_1^2 - t_2^2\big).

3. Подставляем t_2. Левая часть:

v_0t_1\,\frac{\sin\vartheta_1\cos\vartheta_2 - \sin\vartheta_2\cos\vartheta_1}{\cos\vartheta_2} = \frac{v_0t_1\sin(\vartheta_1 - \vartheta_2)}{\cos\vartheta_2}.

Правая часть: \dfrac g2\,t_1^2\,\dfrac{\cos^2\vartheta_2 - \cos^2\vartheta_1}{\cos^2\vartheta_2}. Сокращаем на t_1 \ne 0:

t_1 = \frac{2v_0\sin(\vartheta_1 - \vartheta_2)\cos\vartheta_2}{g\,(\cos\vartheta_2 - \cos\vartheta_1)(\cos\vartheta_2 + \cos\vartheta_1)}.

4. Интервал. \Delta t = t_1 - t_2 = t_1\,\dfrac{\cos\vartheta_2 - \cos\vartheta_1}{\cos\vartheta_2} — множитель (\cos\vartheta_2 - \cos\vartheta_1) сокращается:

\boxed{\Delta t = \frac{2v_0\sin(\vartheta_1 - \vartheta_2)}{g\,(\cos\vartheta_1 + \cos\vartheta_2)}}

5. Числа: \sin15^\circ = 0{,}259, \cos60^\circ + \cos45^\circ = 1{,}207:

\Delta t = \frac{2\cdot250\cdot0{,}259}{9{,}8\cdot1{,}207} \approx 11\ \text{с}.

6. Проверка, что встреча в воздухе. t_1 \approx 37 с < времени полёта первого снаряда 2v_0\sin\vartheta_1/g \approx 44 с ✓.

Ответ

\Delta t = \dfrac{2v_0\sin(\vartheta_1 - \vartheta_2)}{g(\cos\vartheta_1 + \cos\vartheta_2)} \approx 11 с.

Проверка

  • \vartheta_1 = \vartheta_2: \Delta t = 0 — выстрелы одновременны, снаряды летят вместе ✓.
  • Размерность: $\dfrac{\text{м/с}}{\text{м/с}^2} = $ с ✓.

Модель

Поставьте второй снаряд с задержкой \Delta t \approx 10{,}9 с и двигайте время: около t \approx 37 с расстояние станет почти нулевым.

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Одинаковое время полёта для обоих снарядов: забывают, что второй вылетел позже.
  • Пытаются использовать «готовые» формулы дальности — точка встречи не на земле.
  • Тонут в тригонометрии. Совет: сначала свести всё к t_1, потом увидеть \sin(\vartheta_1 - \vartheta_2) и разность квадратов.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Один вариант ответа

Шаг 1. Какой снаряд нужно выпустить первым?

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Пусть до встречи первый снаряд летел время t_1, второй — t_2. Из равенства горизонтальных координат выразите t_2 через t_1 (углы — theta1, theta2).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: t1, theta1, theta2.

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Время полёта первого снаряда до встречи t_1 (с) для v_0 = 250 м/с, \vartheta_1 = 60^\circ, \vartheta_2 = 45^\circ.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 4 Ввод формулы

Шаг 4. Интервал между выстрелами \Delta t (с).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 5 Ввод формулы

Шаг 5. Тот же ответ в общем виде: \Delta t через v0, g, theta1, theta2.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, g, theta1, theta2.

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача. Те же условия, но v_0 = 100 м/с, углы 60^\circ и 30^\circ. Интервал между выстрелами (с)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача. Из одной точки с интервалом \tau бросают вертикально вверх два мяча с одинаковой скоростью v_0. Через какое время после броска второго мяча они столкнутся?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, g, tau.

Задание 8 Один вариант ответа

Можно ли в задаче 1.32 применить приём «относительное движение равномерно» сразу с момента первого выстрела?

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.