Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика материальной точки / урок 15 из 45

Задача 1.64: два бруска на наклонной плоскости

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 8

Условие

Иродов, 1.64

На наклонную плоскость, составляющую угол \alpha с горизонтом, поместили два бруска 1 и 2 (рис. 1.9). Массы брусков m_1 и m_2, коэффициенты трения между плоскостью и этими брусками k_1 и k_2, причём k_1 > k_2. Найти:

а) силу взаимодействия между брусками при движении;

б) угол \alpha, при котором скольжения не будет.

12α
Рис. 1.9: брусок 1 ниже, брусок 2 выше по склону

Что нужно знать

  • Второй закон Ньютона для системы тел и для одного тела (урок «Законы Ньютона»).
  • Брусок на наклонной: N = mg\cos\alpha, трение скольжения kN (урок «Трение и наклонная плоскость»).

Идея

По отдельности брусок 2 скользил бы с бо́льшим ускорением (у него меньше трение). Он догоняет брусок 1 и толкает его — бруски движутся вместе с общим ускорением a. Ускорение найдём для системы целиком, а силу взаимодействия — из уравнения для одного бруска.

Решение

а) Сила взаимодействия. Ось X — вниз вдоль плоскости. Сила, с которой брусок 2 давит на брусок 1, — F (вниз по склону), брусок 1 давит на 2 с силой F вверх по склону.

Брусок 1: \quad m_1a = m_1g\sin\alpha - k_1m_1g\cos\alpha + F,

Брусок 2: \quad m_2a = m_2g\sin\alpha - k_2m_2g\cos\alpha - F.

Складываем — F сокращается:

a = g\sin\alpha - \frac{k_1m_1 + k_2m_2}{m_1 + m_2}\,g\cos\alpha.

Подставляем в уравнение для бруска 1:

F = m_1a - m_1g\sin\alpha + k_1m_1g\cos\alpha = m_1g\cos\alpha\left(k_1 - \frac{k_1m_1 + k_2m_2}{m_1 + m_2}\right)
\boxed{F = \frac{(k_1 - k_2)\,m_1m_2\,g\cos\alpha}{m_1 + m_2}}

б) Условие покоя. Бруски не скользят, если «скатывающая» составляющая силы тяжести системы не превосходит максимальную силу трения покоя:

(m_1 + m_2)g\sin\alpha \le (k_1m_1 + k_2m_2)\,g\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha \le \frac{k_1m_1 + k_2m_2}{m_1 + m_2}.

Это то же самое условие a \le 0 из пункта а.

Ответ

а) F = \dfrac{(k_1 - k_2)m_1m_2g\cos\alpha}{m_1 + m_2}; б) \operatorname{tg}\alpha \le \dfrac{k_1m_1 + k_2m_2}{m_1 + m_2}.

Тонкость пункта б

Брусок 2 по отдельности сдвинулся бы уже при \operatorname{tg}\alpha > k_2, но его держит брусок 1, у которого есть «запас» трения. Поэтому критерий — для системы целиком, со «средневзвешенным» коэффициентом трения.

Проверка

  • k_1 = k_2: F = 0 — бруски скользят одинаково и не давят друг на друга ✓.
  • m_2 \to 0: F \to 0 ✓.
  • F > 0 только при k_1 > k_2 — согласуется с идеей ✓.

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Путают, какой брусок ниже: формула симметрична, но знак F подсказывает, верна ли картина.
  • Считают условие покоя для каждого бруска отдельно: \operatorname{tg}\alpha \le k_2. Это слишком строгое условие.
  • Забывают, что N = mg\cos\alpha, а не mg.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Один вариант ответа

Шаг 1. Брусок 1 стоит ниже, брусок 2 выше, k_1 > k_2. Почему бруски движутся вместе и давят друг на друга?

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Общее ускорение брусков (через m1 m2 k1 k2 g alpha).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, k1, k2, g, alpha.

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Сила взаимодействия брусков при движении.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, k1, k2, g, alpha.

Задание 4 Ввод формулы

Шаг 4. Предельный угол, при котором скольжения ещё нет: введите \operatorname{tg}\alpha_{\max}.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m1, m2, k1, k2.

Задание 5 Ввод формулы

Числа. m_1 = 1 кг, m_2 = 2 кг, k_1 = 0{,}5, k_2 = 0{,}2, \alpha = 30^\circ. Сила взаимодействия (Н)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 6 Ввод формулы

…и их общее ускорение (м/с²)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача. Те же бруски, но поменяли местами: брусок с k = 0{,}5 сверху, с k = 0{,}2 снизу. Чему теперь равна сила взаимодействия при \alpha = 30^\circ (Н)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения.

Задание 8 Ввод формулы

Похожая задача. На горизонтальном столе два соприкасающихся бруска m_1 и m_2, к первому приложена горизонтальная сила F, коэффициенты трения k_1 и k_2. Сила взаимодействия брусков при движении?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: F, m1, m2, k1, k2, g.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.