Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика материальной точки / урок 16 из 45

Задача 1.71: при каком угле соскальзывание быстрее

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 8

Условие

Иродов, 1.71

Небольшое тело $m$ начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором $A$ (рис. 1.11). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью $k = 0{,}140$ . При каком значении угла $\alpha$ время соскальзывания будет наименьшим?

Рис. 1.11: верх плоскости на вертикальном упоре, основание l фиксировано

Что нужно знать

Ускорение на наклонной: $a = g(\sin\alpha - k\cos\alpha)$ (урок «Трение и наклонная плоскость»).
Схема решения задач на экстремум и $\sin2\alpha$ , $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}$ .

Идея

Нижний конец плоскости закреплён, верхний скользит по упору, поэтому неизменна горизонтальная проекция $l$ . Пологая плоскость короткая, но ускорение маленькое; крутая — ускорение большое, но путь длинный. Где-то между ними время минимально.

Решение

1. Длина пути: $L = \dfrac{l}{\cos\alpha}$ .

2. Время (старт без начальной скорости, $L = at^2/2$ ):

t = \sqrt{\frac{2L}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{g\cos\alpha\,(\sin\alpha - k\cos\alpha)}}.

3. Минимум $t$ — максимум знаменателя $f(\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha - k\cos^2\alpha$ . Перепишем через двойной угол:

f(\alpha) = \frac{\sin2\alpha}{2} - \frac{k(1 + \cos2\alpha)}{2}.

f'(\alpha) = \cos2\alpha + k\sin2\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\operatorname{tg}2\alpha = -\frac1k}

4. Выбор корня. Тело скользит, только если $\operatorname{tg}\alpha > k$ , то есть $\alpha \in (\operatorname{arctg}k;\ 90^\circ)$ . Значит $2\alpha \in (0^\circ; 180^\circ)$ , и при $\operatorname{tg}2\alpha < 0$ угол $2\alpha$ — во второй четверти:

2\alpha = 180^\circ - \operatorname{arctg}\frac1k = 180^\circ - 82{,}0^\circ = 98{,}0^\circ, \qquad \alpha \approx 49^\circ.

Ответ

$\operatorname{tg}2\alpha = -1/k$ , $\alpha \approx 49^\circ$ .

Проверка

$k = 0$ : $\operatorname{tg}2\alpha \to -\infty$ , $2\alpha = 90^\circ$ , $\alpha = 45^\circ$ — известный результат для гладкой плоскости ✓.
При росте $k$ оптимальный угол растёт к $90^\circ$ : с большим трением выгоднее круче ✓.
Это максимум $f$ , а не минимум: $f'' = -2\sin2\alpha + 2k\cos2\alpha < 0$ во второй четверти (там $\sin2\alpha > 0$ , $\cos2\alpha < 0$ ) ✓.

Модель

Найдите минимум кривой $t(\alpha)$ и убедитесь, что он совпадает с формулой. Поставьте $k = 0$ — минимум переедет на $45^\circ$ .

Типичные ошибки

Где теряют баллы

Считают длину плоскости постоянной — тогда никакого минимума нет, чем круче, тем быстрее.
Берут $\alpha = \frac12\operatorname{arctg}(-1/k)$ — получают отрицательный угол.
Ищут минимум $t$ дифференцированием корня — можно, но проще максимум знаменателя.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. Расстояние от упора до нижнего конца плоскости по горизонтали — $l$ (оно не меняется). Длина наклонной плоскости $L$ через $l$ и $\alpha$ ?

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: l, alpha.

Эталонное решение (ваше может отличаться):

l/cos(alpha)

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Время соскальзывания $t(\alpha)$ (через l g k alpha).

Как вводить формулы

Обозначения в ответе: l, g, k, alpha.

Эталонное решение (ваше может отличаться):

sqrt(2 l/(g cos(alpha) (sin(alpha) - k cos(alpha))))

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Условие минимума. Введите $\operatorname{tg}2\alpha$ через $k$ .

Как вводить формулы

Обозначения в ответе: k.

Эталонное решение (ваше может отличаться):

-1/k

Задание 4 Ввод формулы

Шаг 4. Оптимальный угол (в градусах) при $k = 0{,}140$ .

Как вводить формулы

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Эталонное решение (ваше может отличаться):

(180 - atan(1/0.14)*180/pi)/2

Задание 5 Один вариант ответа

Почему $2\alpha$ лежит во второй четверти, а не $\alpha = \frac12\operatorname{arctg}(-1/k) < 0$ ?

Тело должно скользить вниз:

\alpha

между

\operatorname{arctg}k

90^\circ

, значит

2\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)

, а

\operatorname{tg}2\alpha < 0

— во второй четверти Это произвольный выбор Отрицательный угол тоже подходит

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача. Тот же упор, но $k = 0{,}30$ . Оптимальный угол (в градусах)?

Как вводить формулы

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Эталонное решение (ваше может отличаться):

(180 - atan(1/0.3)*180/pi)/2

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача. Без трения ( $k = 0$ ). Минимальное время соскальзывания при $l = 1$ м (с)?

Как вводить формулы

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Эталонное решение (ваше может отличаться):

sqrt(4/9.8)

Задание 8 Ввод формулы

Похожая задача (Иродов, 1.72). Шайбу толкнули вверх по наклонной плоскости со скоростью $v_0$ , коэффициент трения $k$ . Наименьшее расстояние, которое шайба может пройти вверх (по всем углам)?

Как вводить формулы

Обозначения в ответе: v0, g, k.

Эталонное решение (ваше может отличаться):

v0^2/(2 g sqrt(1 + k^2))

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.