Теория: динамика движения по окружности
Второй закон на окружности
При движении по окружности (или любой кривой) удобно проецировать второй закон не на X и Y, а на касательную и нормаль (к центру кривизны):
F_n — сумма проекций всех сил на направление к центру. Если скорость постоянна, F_\tau = 0.
«Центростремительная сила» — не отдельная сила
Не рисуйте на чертеже стрелку «F_{цс}». Это просто название для суммы реальных сил (тяжести, натяжения, реакции, трения) в проекции на нормаль. Равенство mv^2/R = F_n — это второй закон, а не новая сила.
Типичные ситуации
| Ситуация | Уравнение по нормали | Результат |
|---|---|---|
| Нижняя точка (петля, впадина) | N - mg = mv^2/R | N = m(g + v^2/R) — перегрузка |
| Верхняя точка петли (тело внутри) | N + mg = mv^2/R | N = m(v^2/R - g) |
| Выпуклый мост (тело сверху) | mg - N = mv^2/R | N = m(g - v^2/R) |
| Горизонтальный поворот | F_{тр} = mv^2/R | v_{\max} = \sqrt{kgR} |
| Сбоку петли (на уровне центра) | N_n = mv^2/R горизонтально | плюс mg вертикально, см. ниже |
Вес — сила, с которой тело давит на опору. По третьему закону она равна N. Перегрузка n = N/(mg).
Пример: ведро с водой
Ведро вращают в вертикальной плоскости на руке длины l. Вода не выливается, если в верхней точке дно давит на воду, то есть N = m(v^2/l - g) \ge 0: v \ge \sqrt{gl}. Для l = 0{,}8 м это 2{,}8 м/с.
Вертикальная составляющая в «средней» точке
Если тело на уровне центра петли движется с постоянной скоростью, то по нормали (горизонтально) действует N_n = mv^2/R. Но по вертикали сила тяжести должна быть уравновешена: опора (сиденье) давит ещё и вверх с силой mg. Полная сила со стороны опоры
Это нужно для третьего ответа задачи 1.91.
Итог
- mv^2/R = F_n: сумма проекций реальных сил на направление к центру.
- Нижняя точка — N = m(g + v^2/R), верхняя изнутри — N = m(v^2/R - g).
- Вес = сила давления на опору, по модулю равна N.
Практика решено 0 из 7
Автомобиль проходит поворот по горизонтальной дороге. Какая сила сообщает ему центростремительное ускорение?
Автомобиль массы m едет со скоростью v по выпуклому мосту радиуса R. Сила давления на мост в верхней точке?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: m, g, v, R.
m (g - v^2/R)При какой скорости автомобиль в верхней точке выпуклого моста перестанет давить на него?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: g, R.
sqrt(g R)Машина массы 1000 кг едет по выпуклому мосту радиуса 40 м со скоростью 54 км/ч. Сила давления на мост в верхней точке (Н)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
1000 (9.8 - 15^2/40)Шарик на нити длины l вращают в вертикальной плоскости. Минимальная скорость в верхней точке, при которой нить ещё натянута?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: g, l.
sqrt(g l)Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиуса R, коэффициент трения шин k. Максимальная скорость без заноса?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: k, g, R.
sqrt(k g R)Конический маятник: шарик на нити длины l вращается по горизонтальной окружности, нить составляет угол \vartheta с вертикалью. Угловая скорость?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: g, l, theta.
sqrt(g/(l cos(theta)))Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.