Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика твёрдого тела / урок 40 из 45

Задача 1.315: шар скатывается с наклонной плоскости

⏱ 25 мин · 🧩 заданий: 9

Условие

Иродов, 1.315

Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.

Силы: тяжести (в центре), реакции и трения покоя (в точке касания)

Что нужно знать

Качение без проскальзывания: $a = \beta R$ ; уравнения $ma_C = \sum F$ , $I_C\beta = \sum M_C$ (урок «Плоское движение и качение»).
$I_{шара} = \frac25mR^2$ .

Идея

Без трения шар просто скользил бы, не вращаясь. Вращение создаёт трение покоя в точке касания — оно направлено вверх по склону, тормозит центр и раскручивает шар. Три неизвестных ( $a$ , $\beta$ , $F_{тр}$ ) — три уравнения.

Решение

1. Центр масс (вдоль склона вниз):

ma = mg\sin\alpha - F_{тр}.

2. Моменты относительно центра: сила тяжести и $\vec N$ проходят через центр, момент только у трения:

\frac25mR^2\beta = F_{тр}R.

3. Связь (без проскальзывания): $a = \beta R$ . Тогда $F_{тр} = \frac25ma$ , и

ma = mg\sin\alpha - \frac25ma \quad\Rightarrow\quad \boxed{a = \frac57g\sin\alpha}.

4. Трение: $F_{тр} = \frac25ma = \frac27mg\sin\alpha$ . Трение покоя не может превышать $kN = kmg\cos\alpha$ :

\frac27mg\sin\alpha \le kmg\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \boxed{k \ge \frac27\operatorname{tg}\alpha}.

Ответ

$a = \dfrac57g\sin\alpha$ ; скольжения не будет при $k \ge \dfrac27\operatorname{tg}\alpha$ .

Проверка через энергию

Трение покоя работы не совершает. Пройдя путь $s$ , шар опустился на $h = s\sin\alpha$ :

mgs\sin\alpha = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2} = \frac{mv^2}{2}\cdot\frac75 \quad\Rightarrow\quad v^2 = \frac{10}{7}gs\sin\alpha = 2as,\ a = \frac57g\sin\alpha\ ✓.

Проверка предельных случаев

$\alpha \to 0$ : $a \to 0$ , $k_{\min} \to 0$ ✓.
Ускорение меньше, чем у скользящего без трения тела ( $g\sin\alpha$ ): часть энергии уходит во вращение ✓.

Модель

Типичные ошибки

Где теряют баллы

Пишут $F_{тр} = kmg\cos\alpha$ — это трение скольжения, а здесь трение покоя, его находят из уравнений.
Направляют трение вниз по склону.
Берут момент инерции относительно точки касания ( $\frac75mR^2$ ) и одновременно моменты относительно центра.
Ответ про коэффициент трения записывают как равенство: правильно — неравенство.

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. Момент инерции однородного шара относительно оси через центр (через m R).

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, R.