Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика твёрдого тела / урок 35 из 45

Теория: момент инерции и теорема Штейнера

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 6

Что такое момент инерции

В поступательном движении инертность тела — масса: $F = ma$ . Во вращении вокруг оси её роль играет момент инерции:

I = \sum m_ir_i^2 = \int r^2\,dm,

где $r$ — расстояние элемента массы до оси (не до точки!). Чем дальше масса от оси, тем труднее раскрутить тело.

Таблица моментов инерции

Тело	Ось	$I$
Точка на расстоянии $r$		$mr^2$
Тонкое кольцо (обруч)	через центр ⊥ плоскости	$mR^2$
Сплошной диск (цилиндр)	ось симметрии	$\frac12mR^2$
Тонкий стержень длины $l$	через середину ⊥	$\frac1{12}ml^2$
Тонкий стержень	через конец ⊥	$\frac13ml^2$
Сплошной шар	через центр	$\frac25mR^2$
Тонкостенная сфера	через центр	$\frac23mR^2$
Прямоугольная пластинка $a\times b$	через центр ⊥ плоскости	$\frac1{12}m(a^2 + b^2)$

Теорема Штейнера

Момент инерции относительно оси, параллельной оси через центр масс $C$ и отстоящей от неё на $a$ :

\boxed{I = I_C + ma^2}

Следствие: для двух параллельных осей на расстояниях $x_1$ и $x_2$ от центра масс

I_1 = I_C + mx_1^2, \qquad I_2 = I_C + mx_2^2 \quad\Rightarrow\quad I_2 - I_1 = m(x_2^2 - x_1^2).

Теорема работает только через центр масс

Нельзя переходить напрямую от оси 1 к оси 2 по формуле $I_2 = I_1 + m(x_2 - x_1)^2$ , если ось 1 не проходит через центр масс. Сначала спуститесь к $I_C$ , потом поднимитесь к нужной оси. Именно это проверяет задача 1.283.

Пример: стержень относительно конца

$I_{\text{конец}} = \frac1{12}ml^2 + m\left(\frac l2\right)^2 = \frac13ml^2$ ✓.

Теорема о перпендикулярных осях

Для плоской пластинки: $I_z = I_x + I_y$ , где оси $x$ , $y$ лежат в плоскости пластинки, $z$ перпендикулярна ей, и все три проходят через одну точку (Иродов, 1.282). Например, диск относительно диаметра: $I_x = I_y = \frac12I_z = \frac14mR^2$ .

Вычисление интегралом

Стержень относительно середины: $dm = \frac ml\,dx$ ,

I = \int_{-l/2}^{l/2}x^2\frac ml\,dx = \frac ml\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_{-l/2}^{l/2} = \frac{ml^2}{12}.

Итог

$I = \sum m_ir_i^2$ , $r$ — расстояние до оси.
Таблица: обруч $mR^2$ , диск $\frac12mR^2$ , стержень $\frac1{12}ml^2$ , шар $\frac25mR^2$ .
Штейнер: $I = I_C + ma^2$ — только от оси через центр масс.

Практика решено 0 из 6

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Момент инерции тонкого стержня массы $m$ и длины $l$ относительно оси через конец, перпендикулярной стержню?

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, l.