Задача 1.6: ветер на палубе корабля
Условие
Иродов, 1.6
Корабль движется по экватору на восток со скоростью v_0 = 30 км/ч. С юго-востока под углом \varphi = 60^\circ к экватору дует ветер со скоростью v = 15 км/ч. Найти скорость v' ветра относительно корабля и угол \varphi' между экватором и направлением ветра в системе отсчёта, связанной с кораблём.
Что нужно знать
- Закон сложения скоростей: \vec v' = \vec v - \vec v_0 (урок «Системы отсчёта и сложение скоростей»).
- Проекции вектора и теорема косинусов (урок «Математика для механики»).
Идея
Перейти в систему корабля = вычесть скорость корабля из скорости ветра. Дальше — геометрия: длина и направление разности двух векторов.
Рисунок
Решение
1. Векторное уравнение. В системе корабля
2. Проекции. Ось X направим на восток, ось Y — на север. Ветер дует с юго-востока, то есть на северо-запад: составляющая на запад v\cos\varphi, на север v\sin\varphi.
3. Модуль:
То же самое даёт теорема косинусов для треугольника на рисунке: угол между \vec v и -\vec v_0 равен \varphi.
4. Угол с экватором:
5. Числа: v' = \sqrt{900 + 225 + 2\cdot30\cdot15\cdot0{,}5} = \sqrt{1575} \approx 40 км/ч, \operatorname{tg}\varphi' = \dfrac{15\cdot0{,}866}{30 + 7{,}5} \approx 0{,}346, \varphi' \approx 19^\circ.
Ответ
v' = \sqrt{v_0^2 + v^2 + 2v_0v\cos\varphi} \approx 40 км/ч, \varphi' = \arcsin\dfrac{v\sin\varphi}{v'} \approx 19^\circ. На палубе ветер дует с востока-юго-востока, почти навстречу курсу.
Проверка
- v_0 = 0 (корабль стоит): v' = v, \varphi' = \varphi ✓.
- \varphi = 0 (ветер с востока, строго навстречу): v' = v_0 + v — скорости складываются ✓.
- \varphi = 90^\circ (ветер с юга): v' = \sqrt{v_0^2 + v^2} — перпендикулярные векторы ✓.
- Размерность: под корнем км²/ч² → км/ч ✓.
Модель
Подвигайте ползунки: при v_0 = 30, v = 15, \varphi = 60^\circ модель показывает ответ задачи.
Типичные ошибки
Где теряют баллы
- Ветер «с юго-востока» приняли за ветер «на юго-восток» — под корнем получается минус: \sqrt{v_0^2 + v^2 - 2v_0v\cos\varphi} \approx 26 км/ч. Неверно.
- Сложили скорости, а не вычли: \vec v + \vec v_0.
- Посчитали угол между \vec v' и ветром, а не экватором.
Практика решено 0 из 9
Шаг 1. Какое векторное равенство описывает ветер в системе отсчёта корабля?
Шаг 2. Ось X — на восток, ось Y — на север. Проекция v'_x скорости ветра относительно корабля (через v_0, v, \varphi)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: v0, v, phi.
Ветер дует на северо-запад: его x-проекция равна -v\cos\varphi. Из неё вычитаем v_0.
-(v0 + v cos(phi))Шаг 3. Проекция v'_y?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: v0, v, phi.
v sin(phi)Шаг 4. Модуль v' при v_0 = 30 км/ч, v = 15 км/ч, \varphi = 60^\circ (км/ч).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
sqrt(30^2 + 15^2 + 2*30*15*cos(pi/3))Шаг 5. Угол \varphi' между экватором и направлением ветра в системе корабля (в градусах).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
atan(15 sin(pi/3)/(30 + 15 cos(pi/3)))*180/piПохожая задача. Корабль идёт на восток со скоростью 20 км/ч, ветер дует с севера (на юг) со скоростью 20 км/ч. Скорость ветра относительно корабля (км/ч)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
20 sqrt(2)Похожая задача. Корабль идёт на восток со скоростью 36 км/ч. Флаг на мачте показывает, что ветер относительно корабля дует строго с севера со скоростью 10 м/с. Найдите скорость ветра относительно Земли (м/с).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
Теперь известно \vec v', а найти нужно \vec v = \vec v' + \vec v_0. Не забудьте перевести 36 км/ч в м/с.
sqrt(10^2 + 10^2)Похожая задача в общем виде. Корабль идёт со скоростью v_0, ветер дует со скоростью v навстречу под углом \varphi к курсу (то есть угол между векторами скоростей равен \pi - \varphi). Модуль v'?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: v0, v, phi.
sqrt(v0^2 + v^2 + 2 v0 v cos(phi))При какой скорости корабля ветер на палубе дует строго перпендикулярно курсу (в условиях задачи 1.6, ветер с юго-востока)?
Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.