Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика материальной точки / урок 18 из 45

Задача 1.91: вес лётчика в мёртвой петле

⏱ 25 мин · 🧩 заданий: 8

Условие

Иродов, 1.91

Самолёт делает «мёртвую петлю» радиуса R = 500 м с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Найти вес лётчика массы m = 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.

Что нужно знать

  • Второй закон в проекции на нормаль: mv^2/R = F_n (урок «Динамика движения по окружности»).
  • Вес — сила, с которой лётчик давит на сиденье; по третьему закону P = N.

Идея

На лётчика действуют только сила тяжести m\vec g и сила со стороны сиденья \vec N. Скорость постоянна, поэтому ускорение — центростремительное, v^2/R, к центру петли. Находим \vec N = m\vec a - m\vec g; вес равен N по модулю.

Решение

Переведём скорость: v = 360/3{,}6 = 100 м/с, \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{10^4}{500} = 20 м/с² (почти 2g).

Нижняя точка. Центр петли сверху, сиденье давит вверх:

N - mg = \frac{mv^2}{R} \quad\Rightarrow\quad P_1 = m\left(g + \frac{v^2}{R}\right) = 70\cdot29{,}8 \approx 2{,}1\ \text{кН}.

Верхняя точка. Лётчик вниз головой, центр петли под ним; сиденье давит вниз, к центру:

N + mg = \frac{mv^2}{R} \quad\Rightarrow\quad P_2 = m\left(\frac{v^2}{R} - g\right) = 70\cdot10{,}2 \approx 0{,}7\ \text{кН}.

Средняя точка. Ускорение горизонтально, v^2/R к центру. Векторно: \vec N = m\vec a - m\vec g — сумма двух перпендикулярных векторов длиной mv^2/R (горизонтально) и mg (вверх):

P_3 = m\sqrt{g^2 + \left(\frac{v^2}{R}\right)^2} = 70\sqrt{9{,}8^2 + 20^2} \approx 1{,}5\ \text{кН}.

Ответ

P_{\text{низ}} = m(g + v^2/R) \approx 2{,}1 кН, P_{\text{верх}} = m(v^2/R - g) \approx 0{,}7 кН, P_{\text{сред}} = m\sqrt{g^2 + v^4/R^2} \approx 1{,}5 кН.

Проверка

  • v \to 0 в нижней точке: P = mg — обычный вес ✓.
  • В верхней точке при v^2/R = g вес нулевой — невесомость ✓; при v^2/R < g получилось бы P < 0: лётчика удерживают ремни.
  • Перегрузка в нижней точке \approx 3, это реалистично для пилотажа ✓.

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Не переводят км/ч в м/с: 360^2/500 = 259 м/с² — заведомо абсурдно.
  • В средней точке пишут P = mv^2/R, забывая, что сиденье ещё и удерживает лётчика от падения.
  • Рисуют «центробежную силу» в инерциальной системе отсчёта.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. Центростремительное ускорение v^2/R (м/с²) при v = 360 км/ч, R = 500 м.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Вес лётчика массы 70 кг в нижней точке петли (Н).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Вес в верхней точке (Н).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 4 Ввод формулы

Шаг 4. Вес в средней точке (на уровне центра петли), Н.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 5 Ввод формулы

Перегрузка n = P/(mg) в нижней точке?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача. При какой скорости (км/ч) лётчик в верхней точке той же петли окажется в невесомости?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача. Лётчик выдерживает перегрузку n = 8. Минимальный радиус петли (м) при скорости 720 км/ч (перегрузка в нижней точке)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 8 Ввод формулы

Похожая задача (общий вид). Самолёт с постоянной скоростью v проходит петлю радиуса R. Разность весов лётчика массы m в нижней и верхней точках?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, g, v, R.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.