Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика материальной точки / урок 14 из 45

Теория: трение и наклонная плоскость

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 7

Трение покоя и скольжения

Трение скольжения: $F_{тр} = kN$ , направлено против скорости тела относительно поверхности.
Трение покоя: принимает любое значение от $0$ до $kN$ , ровно такое, чтобы тело не сдвинулось. Его находят из уравнений, а не по формуле $kN$ .

Главная ошибка с трением

Писать $F_{тр} = kN$ для тела, которое покоится. Сначала выясните, скользит ли тело. Если нет — трение покоя находится из второго закона при $a = 0$ .

Брусок на наклонной плоскости

Ось $X$ — вдоль наклонной вниз, $Y$ — перпендикулярно ей. Проекции силы тяжести: $mg\sin\alpha$ вдоль, $mg\cos\alpha$ поперёк.

Y:\quad N = mg\cos\alpha, \qquad\qquad X:\quad ma = mg\sin\alpha \mp F_{тр}.

Ситуация	Ускорение
Скользит вниз	$a = g(\sin\alpha - k\cos\alpha)$
Едет вверх (толкнули)	$a = g(\sin\alpha + k\cos\alpha)$ , направлено вниз
Покоится	$\operatorname{tg}\alpha \le k$ , трение $= mg\sin\alpha$

Угол трения $\varphi_{тр} = \operatorname{arctg}k$ : при $\alpha \le \varphi_{тр}$ тело на наклонной покоится.

Несколько тел на наклонной

Если два бруска касаются и движутся вместе, сначала найдите общее ускорение для системы, а затем силу взаимодействия из уравнения для одного бруска. Важно понять, давит ли один брусок на другой: если верхний «хочет» ехать быстрее нижнего (у него меньше трение), то давит; если медленнее — бруски разъедутся и взаимодействия нет. Это задача 1.64.

Задачи на экстремум

Часто спрашивают: «при каком угле время (сила, путь) минимально?» Схема:

Получите величину как функцию угла: $t(\alpha)$ .
Минимум $t$ — там, где минимум (или максимум) более простого выражения. Например, минимум $\sqrt{\dfrac{C}{f(\alpha)}}$ там, где максимум $f(\alpha)$ .
Приравняйте производную к нулю, используйте формулы двойного угла.

Пример: минимальная сила тяги

$T = \dfrac{kmg}{\cos\alpha + k\sin\alpha}$ . Максимум знаменателя: $-\sin\alpha + k\cos\alpha = 0$ ⇒ $\operatorname{tg}\alpha = k$ . Тянуть выгоднее чуть вверх: часть силы «разгружает» опору и уменьшает трение.

Трюк с вспомогательным углом

$a\cos\alpha + b\sin\alpha = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(\alpha - \varphi)$ , где $\operatorname{tg}\varphi = b/a$ . Максимум равен $\sqrt{a^2 + b^2}$ — без производных.

Модель

Модель к задаче 1.71: тело соскальзывает с наклонной, нижний конец которой отстоит от упора на $l$ . Посмотрите, как время зависит от угла, и как оптимальный угол сдвигается от $45^\circ$ при росте трения.

Итог

Трение скольжения $= kN$ ; трение покоя — из уравнений, не больше $kN$ .
На наклонной: $N = mg\cos\alpha$ , $a = g(\sin\alpha \mp k\cos\alpha)$ .
Экстремум: величина как функция угла → производная = 0 или вспомогательный угол.

Практика решено 0 из 7

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Брусок скользит вниз по наклонной плоскости с углом $\alpha$ , коэффициент трения $k$ . Ускорение?

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: g, alpha, k.