Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Кинематика / урок 5 из 45

Теория: постоянное ускорение и бросок под углом

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 8

Движение с постоянным ускорением

Если \vec a = \text{const}, то

\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a\,t, \qquad \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0\,t + \frac{\vec a\,t^2}{2}.

Это две векторные формулы, а значит, по две-три скалярные — для каждой оси. Удобная формула без времени: v_x^2 - v_{0x}^2 = 2a_x(x - x_0).

Бросок под углом к горизонту

Ось X — горизонтально, Y — вверх, бросок из начала координат со скоростью v_0 под углом \alpha. Ускорение \vec g: a_x = 0, a_y = -g. Движение раскладывается на равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали:

x = v_0\cos\alpha\cdot t, \qquad y = v_0\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2},
v_x = v_0\cos\alpha, \qquad v_y = v_0\sin\alpha - gt.

Величина Формула Откуда
Время подъёма t_п = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g} v_y = 0
Время полёта T = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g} y = 0
Высота H = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} y(t_п)
Дальность L = \dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g} x(T)
Траектория y = x\operatorname{tg}\alpha - \dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} исключили t

Максимум дальности — при \alpha = 45^\circ; углы \alpha и 90^\circ - \alpha дают одинаковую дальность.

Формулы таблицы — только для падения на тот же уровень

Если тело брошено с высоты, падает на склон или сталкивается с другим телом — не подставляйте готовые T и L, а пишите x(t) и y(t) и решайте систему.

Главный приём: относительное движение двух тел

Пусть два тела летят в поле тяжести. Их ускорения одинаковы: \vec a_1 = \vec a_2 = \vec g. Тогда относительная скорость

\vec v_{\text{отн}} = \vec v_1 - \vec v_2 = (\vec v_{01} + \vec g t) - (\vec v_{02} + \vec g t) = \vec v_{01} - \vec v_{02} = \text{const}.

В системе отсчёта одного тела второе движется равномерно и прямолинейно. Гравитация «исчезает». Если тела брошены одновременно из одной точки, расстояние между ними растёт линейно:

l(t) = |\vec v_{01} - \vec v_{02}|\cdot t.

Аналогия: свободно падающий лифт

Космонавты на орбите и пассажиры падающего лифта не замечают тяжести: всё вокруг падает с тем же ускорением. Два камня в полёте «не видят» гравитации друг для друга по той же причине.

Если брошены не одновременно

Пока летит только первое тело, относительное движение не равномерное. Тогда пишите координаты обоих тел, с отсчётом времени для второго t - \Delta t, и приравнивайте x_1 = x_2, y_1 = y_2 — это задача 1.32.

Модель

Два тела с одинаковой начальной скоростью под разными углами. Ползунок времени показывает положения тел; красный отрезок — расстояние между ними. Заметьте: при одновременном броске отрезок всё время параллелен самому себе и растёт равномерно.

Итог

  • Бросок = равномерное движение по горизонтали + равноускоренное по вертикали.
  • Формулы T, H, L — для старта и финиша на одном уровне.
  • Два тела в поле тяжести движутся друг относительно друга равномерно: \vec v_{\text{отн}} = \vec v_{01} - \vec v_{02}.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Тело брошено под углом \alpha к горизонту со скоростью v_0. Время полёта до падения на тот же уровень?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, alpha, g.

Задание 2 Ввод формулы

Максимальная высота подъёма?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, alpha, g.

Задание 3 Ввод формулы

Дальность полёта?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, alpha, g.

Задание 4 Ввод формулы

Уравнение траектории y(x) (начало координат — точка броска, y вверх).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: x, v0, alpha, g.

Задание 5 Ввод формулы

Камень брошен со скоростью 20 м/с под углом 30^\circ к горизонту. Дальность полёта (м)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 6 Один вариант ответа

Два камня брошены одновременно из одной точки с разными скоростями. Как они движутся друг относительно друга (пока оба в полёте)?

Задание 7 Ввод формулы

Два тела брошены одновременно из одной точки: одно вертикально вверх со скоростью v_1, другое вертикально вниз со скоростью v_2. Расстояние между ними через время t (пока оба летят)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v1, v2, t.

Задание 8 Ввод формулы

При каком угле бросания (в градусах) дальность максимальна (сопротивления воздуха нет, бросок с земли)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.