Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Кинематика / урок 8 из 45

Теория: движение с переменной скоростью

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 8

Две задачи кинематики

Прямая: дан закон движения x(t) — найти скорость и ускорение. Дифференцируем:

v_x = \dot x, \qquad a_x = \dot v_x = \ddot x.

Обратная: дано ускорение (или скорость) — найти закон движения. Интегрируем, используя начальные условия:

v_x(t) = v_{0x} + \int_0^t a_x\,dt, \qquad x(t) = x_0 + \int_0^t v_x\,dt.

Когда величина задана не как функция времени

Самое интересное — когда скорость или ускорение заданы через координату или скорость. Тогда нужна одна из двух связей:

Дано Что писать Что получим
v(x) \dfrac{dx}{dt} = v(x) ⇒ dt = \dfrac{dx}{v(x)} t(x), потом x(t)
v(x) a = v\,\dfrac{dv}{dx} ускорение как функция x
a(v) \dfrac{dv}{dt} = a(v) ⇒ dt = \dfrac{dv}{a(v)} v(t), время до остановки
a(v) v\,\dfrac{dv}{dx} = a(v) ⇒ dx = \dfrac{v\,dv}{a(v)} путь до остановки

Формула a = v\,dv/dx

Это просто цепное правило: \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}. Её же можно записать как a = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{v^2}{2}\right) — ускорение равно производной «удельной кинетической энергии» по координате.

Разделение переменных. Уравнение вида \dfrac{dy}{dt} = f(y) переписываем как \dfrac{dy}{f(y)} = dt и интегрируем обе части с пределами от начального состояния до текущего.

Пример: торможение a = -\beta v

\dfrac{dv}{dt} = -\beta v ⇒ \displaystyle\int_{v_0}^{v}\frac{dv}{v} = -\beta\int_0^t dt ⇒ \ln\dfrac{v}{v_0} = -\beta t ⇒ v = v_0e^{-\beta t}.

Путь — через v\,\dfrac{dv}{dx} = -\beta v ⇒ dv = -\beta\,dx ⇒ v = v_0 - \beta x: полный путь v_0/\beta, хотя время движения бесконечно.

Средняя скорость

\langle v\rangle = \frac{s}{t} \qquad\text{(путь / время)}, \qquad \langle\vec v\rangle = \frac{\Delta\vec r}{t} \qquad\text{(перемещение / время)}.

Если зависимость v(x) известна, а время нет, время находится интегралом: t = \displaystyle\int_0^s\frac{dx}{v(x)}.

Ловушка

Полусумма \frac{v_{\text{нач}} + v_{\text{кон}}}{2} — это средняя скорость только при постоянном ускорении. В задаче 1.22 ускорение как раз окажется постоянным — но это надо доказать, а не предположить.

Итог

  • Производная — от координаты к скорости и ускорению; интеграл — обратно.
  • Если величина зависит от x или v: разделяйте переменные, используйте a = v\,dv/dx.
  • Средняя скорость = путь / время.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

x(t) = A\sin\omega t. Скорость v_x(t)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: A, omega, t.

Задание 2 Ввод формулы

Скорость задана как функция координаты: v = kx (k > 0). Ускорение как функция x?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: k, x.

Задание 3 Ввод формулы

Ускорение a = -\beta v (сила сопротивления, пропорциональная скорости), v(0) = v_0. Найдите v(t).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, beta, t.

Задание 4 Ввод формулы

…и путь, пройденный до остановки (при t \to \infty).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, beta.

Задание 5 Ввод формулы

Иродов, 1.23. Точка тормозит с ускорением, модуль которого a = \alpha\sqrt v, начальная скорость v_0. Путь до остановки?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, alpha.

Задание 6 Ввод формулы

…и время до остановки.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v0, alpha.

Задание 7 Один вариант ответа

Средняя скорость за время t — это…

Задание 8 Ввод формулы

Точка проходит первую половину пути со скоростью v_1, вторую — со скоростью v_2. Средняя скорость?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: v1, v2.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.