Задача 1.237: период обращения планеты
Условие
Иродов, 1.237
Некоторая планета движется по окружности вокруг Солнца со скоростью v = 34{,}9 км/с (относительно гелиоцентрической системы отсчёта). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца.
Что нужно знать
- Круговая орбита: \dfrac{mv^2}{r} = \gamma\dfrac{Mm}{r^2} (урок «Тяготение и круговые орбиты»).
- Масса Солнца M = 1{,}99\cdot10^{30} кг — справочная величина (в задачнике — в таблицах в конце).
Идея
Радиус орбиты не дан, но его однозначно определяет скорость: на круговой орбите v^2 = \gamma M/r.
Решение
1. Радиус: r = \dfrac{\gamma M}{v^2}.
2. Период: T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\gamma M}{v^3}.
3. Числа: \gamma M = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{30} = 1{,}33\cdot10^{20} м³/с², v^3 = (3{,}49\cdot10^4)^3 = 4{,}25\cdot10^{13} м³/с³:
Ответ
T = \dfrac{2\pi\gamma M}{v^3} \approx 225 суток (это Венера: r \approx 0{,}72 а. е.).
Проверка
- Размерность: \dfrac{\text{Н·м}^2/\text{кг}^2\cdot\text{кг}}{\text{м}^3/\text{с}^3} = \dfrac{\text{м}^3/\text{с}^2}{\text{м}^3/\text{с}^3} = \text{с} ✓.
- Для Земли (v = 29{,}8 км/с) формула даёт 365 суток ✓.
- Быстрее движется — ближе к Солнцу — короче год ✓.
Модель
Выберите «Солнце» и найдите радиус, при котором период около 225 суток.
Типичные ошибки
Где теряют баллы
- Пишут T = 2\pi r/v и не знают, где взять r.
- Подставляют скорость в км/с: ответ отличается в 10^9 раз.
- Используют массу Земли вместо массы Солнца.
Практика решено 0 из 7
Шаг 1. Радиус орбиты через скорость v (используйте gamma M v).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: gamma, M, v.
gamma M/v^2Шаг 2. Период обращения в общем виде.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Обозначения в ответе: gamma, M, v.
2 pi gamma M/v^3Шаг 3. Период в сутках (M = 1{,}99\cdot10^{30} кг, \gamma = 6{,}67\cdot10^{-11}, v = 34{,}9 км/с).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
2 pi*6.67*10^(-11)*1.99*10^30/(34.9*10^3)^3/86400Радиус орбиты этой планеты в астрономических единицах (1 а. е. = 1{,}496\cdot10^{11} м)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
6.67*10^(-11)*1.99*10^30/(34.9*10^3)^2/(1.496*10^11)Похожая задача. Скорость Земли на орбите 29{,}8 км/с. Период обращения по той же формуле (сутки)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
2 pi*6.67*10^(-11)*1.99*10^30/(29.8*10^3)^3/86400Похожая задача. Во сколько раз период обращения планеты больше, если её орбитальная скорость вдвое меньше?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
8Похожая задача. Марс обращается на расстоянии 1{,}52 а. е. от Солнца. Его период по третьему закону Кеплера (в земных годах)?
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).
1.52^1.5Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.