Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Динамика твёрдого тела / урок 38 из 45

Задача 1.290: пережгли одну из нитей

⏱ 25 мин · 🧩 заданий: 8

Условие

Иродов, 1.290

Горизонтально расположенный тонкий однородный стержень массы m подвешен за концы на двух вертикальных нитях. Найти силу натяжения одной из нитей сразу после пережигания другой нити.

пережглиCTmg
Сразу после пережигания: на стержень действуют только T и mg

Что нужно знать

  • m\vec a_C = \sum\vec F, I_C\beta = \sum M_C, момент инерции стержня \frac1{12}ml^2 (уроки «Момент инерции», «Уравнение динамики вращения»).
  • «Сразу после»: все скорости нулевые.

Идея

Натяжение не равно mg/2, как было до пережигания: стержень начинает падать и поворачиваться, и нить сразу «ослабевает». Три неизвестных (T, a_C, \beta) — нужны три уравнения: для центра масс, для моментов и связь.

Решение

1. Центр масс (ось вниз). Горизонтальных сил нет, поэтому центр движется вертикально:

ma_C = mg - T.

2. Моменты относительно центра: только T имеет момент, плечо \frac l2:

\frac{ml^2}{12}\beta = T\frac l2 \quad\Rightarrow\quad \beta = \frac{6T}{ml}.

3. Связь. Нить нерастяжима и натянута вертикально, а скорость конца в начальный момент нулевая, поэтому вертикальное ускорение конца A равно нулю. Ускорение конца: a_A = a_C - \beta\frac l2 (центр опускается, поворот поднимает конец):

a_C = \beta\frac l2 = \frac{3T}{m}.

4. Подставляем в п. 1: 3T = mg - T ⇒

\boxed{T = \frac{mg}{4}}, \qquad a_C = \frac34g.

Ответ

T = \dfrac{mg}{4} — вдвое меньше, чем до пережигания.

Проверка

  • То же получается, если считать, что стержень мгновенно вращается вокруг неподвижного конца: I_A = \frac13ml^2, \beta = \frac{mg\,l/2}{ml^2/3} = \frac{3g}{2l}, a_C = \frac34g, T = mg - ma_C = \frac{mg}{4} ✓. В начальный момент это законно: скорости нулевые, конец ускорения не имеет.
  • 0 < T < mg/2: нить ослабла, но не провисла ✓.

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Отвечают T = mg/2 («ничего не изменилось») или T = mg («вся нагрузка на одну нить»). Обе ошибки — следствие статического мышления.
  • Забывают связь и получают три неизвестных на два уравнения.
  • Берут I = \frac1{12}ml^2 при моментах относительно конца (или \frac13ml^2 — относительно центра).

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. Момент инерции стержня массы m и длины l относительно центра?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, l.

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Уравнение моментов относительно центра: I_C\beta = T\frac l2. Выразите \beta через T m l.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: T, m, l.

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Связь: конец на нити не имеет вертикального ускорения, значит a_C = \beta\frac l2. Выразите a_C через T m.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: T, m.

Задание 4 Ввод формулы

Шаг 4. Натяжение нити (через m g).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, g.

Задание 5 Ввод формулы

Ускорение центра стержня в этот момент (через g).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: g.

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача. Однородный диск массы m висит в вертикальной плоскости на двух вертикальных нитях, прикреплённых к концам его горизонтального диаметра. Одну нить пережгли. Натяжение другой сразу после этого?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, g.

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача. То же для тонкого кольца массы m (нити у концов горизонтального диаметра).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, g.

Задание 8 Ввод формулы

Похожая задача. Стержень подвешен на двух нитях не за концы, а в точках на расстоянии l/4 от каждого конца. Одну нить пережгли. Натяжение другой?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: m, g.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.