Теоретическая механика: подготовка к контрольной / Всемирное тяготение / урок 30 из 45

Задача 1.258: спутник у поверхности планеты

⏱ 20 мин · 🧩 заданий: 7

Условие

Иродов, 1.258

Найти период обращения спутника, движущегося вокруг некоторой планеты вблизи её поверхности, если средняя плотность планеты \rho = 3{,}3 г/см³.

Что нужно знать

  • T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\gamma M}} для круговой орбиты (урок «Тяготение и круговые орбиты»).
  • Масса шара M = \frac43\pi R^3\rho.

Идея

«Вблизи поверхности» значит r \approx R. Радиус планеты не дан — посмотрим, вдруг он сократится.

Решение

T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma\cdot\frac43\pi R^3\rho}} = 2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi\gamma\rho}} = \sqrt{\frac{3\pi}{\gamma\rho}}.

Радиус действительно сократился.

Числа: T = \sqrt{\dfrac{3\pi}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3300}} = \sqrt{4{,}28\cdot10^7} \approx 6{,}5\cdot10^3 с \approx 1{,}8 ч.

Ответ

T = \sqrt{\dfrac{3\pi}{\gamma\rho}} \approx 1{,}8 ч.

Проверка

  • Размерность: \dfrac{1}{\text{Н·м}^2\text{кг}^{-2}\cdot\text{кг/м}^3} = \dfrac{1}{\text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2}\cdot\text{кг·м}^{-3}} = \text{с}^2 ✓.
  • Чем плотнее планета, тем быстрее спутник ✓.
  • \rho = 3{,}3 г/см³ — это примерно Луна; период спутника у Луны действительно около 1{,}8 ч ✓.

Модель

Выберите «планета плотности ρ» и меняйте плотность: период у поверхности (r = 1) зависит только от неё.

Типичные ошибки

Где теряют баллы

  • Подставляют плотность в г/см³ — ответ в \sqrt{1000} \approx 32 раза больше.
  • Ищут радиус планеты, которого нет в условии.
  • Ответ в секундах, когда удобнее в часах — не ошибка, но проверьте, что не перепутали 3600 и 60.

Практика решено 0 из 7

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Шаг 1. Масса планеты через радиус R и плотность \rho.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: R, rho.

Задание 2 Ввод формулы

Шаг 2. Период спутника у поверхности в общем виде (через gamma rho).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: gamma, rho.

Задание 3 Ввод формулы

Шаг 3. Период в часах при \rho = 3{,}3 г/см³.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 4 Ввод формулы

Похожая задача. Средняя плотность Земли 5{,}5 г/см³. Период спутника у её поверхности (мин)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 5 Ввод формулы

Похожая задача. Планета вдвое больше по радиусу, но с той же плотностью. Во сколько раз изменится период спутника у поверхности?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 6 Ввод формулы

Похожая задача (обратная). Спутник у поверхности астероида обращается с периодом 3 ч. Средняя плотность астероида (кг/м³)?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Ответ — число, без единиц измерения (принимается с точностью до округления).

Задание 7 Ввод формулы

Похожая задача. Ускорение свободного падения на поверхности планеты радиуса R и плотности \rho?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: gamma, rho, R.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.